Question

Enche-se um reservatorio cuja forma é um cone circular reto, de agua a uma taxa de 0,1 m³/s. O vertice esta a 15m do topo e o raio do topo é 10m. Com que velocidade o nivel H da agua esta subindo no instante em que h=5 m?

Resposta= $\frac{9}{10^3 \pi}=\frac{0,9}{10^2 \pi}$

Answer 1

Primeira coisa que vamos fazer eh definir uma eq. pro raio em funcao da altura. Podemos usar simplesmente regra de 3, pois se trata de semelhanca de triangulos:

10----15
  r-----h

r=(2/3)h

Agora vamos pegar a formula de volume de um cone:

$V=\dfrac{\pi r^2 h}{3}$

Substituir nosso r com a equacao que a gente conseguiu:

$V=\dfrac{h}{3}\cdot\left(\dfrac{2h}{3}\right)^2\cdot \pi=\dfrac{4\pi h^3}{27}$

Agora tiramos a derivada implicita em funcao do tempo, ou seja deriva todo mundo implicitamente:

$V'=\dfrac{4\pi h^2h'}{9}$

Agora sabemos que:

V'=0.1
h=5

Soh temos que descobrir h', uma simples equacao:

Obs: verifique se todas as unidades batem, nesse aso batem e a resposta vai sair em metros por segundo.

$V'=\dfrac{4\pi h^2h'}{9}\\\\\\0.1=\dfrac{4\pi(5)^2h'}{9}\\\\\\0.9=100\pi h'\\\\h'=\dfrac{9}{1000\pi}\ m/s$

Answer 2

A velocidade o nivel H da agua esta subindo é de 0,9/10²π m/s.

Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:

• Podemos encontrar uma equação pro raio em função da altura através da semelhança de triângulos;
• O volume de um cone é dado por V = πr²h/3;
• A taxa de variação do volume em função do tempo é 0,1 m³/s (dV/dt);

Com essas informações,  temos que:

10 m ---- 15 m

  r  ------ h

15.r = 10.h

r = (2/3).h

Substituindo na equação do volume, temos:

V = π[(2/3).h]²h/3

V = π(4/9).h³/3

V = 4πh³/27

Utilizando a regra da cadeia, temos:

dV/dt = dV/dh . dh/dt

Sabendo que dV/dt = 0,1 m³/s, temos que:

dV/dh = 4πh²/9

Substituindo os valores:

0,1 = 4πh²/9 . dh/dt

dh/dt = 0,1/(4πh²/9)

dh/dt = 0,9/4πh²

Substituindo h por 5, temos:

dh/dt = 0,9/4π.25

dh/dt = 0,9/100π

dh/dt = 0,9/10²π m/s

Leia mais em:

https://brainly.com.br/tarefa/19931804