Question

Enaino superior -Cálculo 4

Resolva (3x^2- y)dx + (4y^3 - x)dy = 0 e encontrar a solução passando por (1; 1)

resolva (x +3y)dx + (3x + y)dy = 0 e esobocar o gráfico de uma das solucoes

Answer 1

Considere uma equação diferencial ordinária escrita na forma

$P(x,\,y)\,dx+Q(x,\,y)\,dy=0$

onde as derivadas parciais de $P$ e $Q$ existam e sejam contínuas.


Esta EDO é dita exata, se

$\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial P}{\partial y}~~~~~~\mathbf{(i)}$


e a solução geral desta EDO pode ser escrita na forma

$\varphi(x,\,y)=C$


onde $\varphi(x,\,y)$ é uma função potencial para o campo vetorial $\big(P(x,\,y),\,Q(x,\,y)\big),$ ou seja

$\nabla \varphi(x,\,y)=\big(P(x,\,y),\,Q(x,\,y)\big)$


ou escrevendo as coordenadas

$\left\{ \!\begin{array}{l} \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,\,y)\\\\ \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,\,y) \end{array} \right.$

________________

• Resolver a equação

$(3x^2-y)dx+(4y^3-x)dy=0$

$\begin{array}{rcl} P(x,\,y)=3x^2-y&~\text{ e }~&Q(x,\,y)=4y^3-x\\\\ \dfrac{\partial P}{\partial y}=-1&~\text{ e }~&\dfrac{\partial Q}{\partial x}=-1 \end{array}$


Logo, trata-se de uma EDO exata. Vamos encontrar a função potencial $\varphi(x,\,y):$

$\dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,\,y)\\\\\\ \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=3x^2-y$


Primitivando em $x,$ temos

$\varphi(x,\,y)=x^3-xy+g(y)~~~~~~\mathbf{(ii)}$


onde $g(y)$ é uma função apenas de $y.$


Derivando a última igualdade acima em relação a $y,$ temos

$\dfrac{\partial \varphi}{\partial y}=-x+g'(y)\\\\\\ Q(x,\,y)=-x+g'(y)\\\\ 4y^3-x=-x+g'(y)\\\\ g'(y)=4y^3\\\\ g(y)=y^4$


Portanto, por $\mathbf{(ii)},$ temos que

$\varphi(x,\,y)=x^3-xy+y^4$


E a solução geral da EDO é

$x^3-xy+y^4=C$


Como queremos a solução particular que passa pelo ponto $(1,\,1),$ é só substituir e encontrar o valor de $C:$

$1^3-1\cdot 1+1^4=C\\\\ 1-1+1=C\\\\ C=1$


A solução procurada é

$x^3-xy+y^4=1\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x^3-xy+y^4-1=0 \end{array}}$

( equação geral )

____________

• Resolver a equação

$(x+3y)dx+(3x+y)dy=0$

$\begin{array}{rcl} P(x,\,y)=x+3y&~\text{ e }~&Q(x,\,y)=3x+y\\\\ \dfrac{\partial P}{\partial y}=3&~\text{ e }~&\dfrac{\partial Q}{\partial x}=3 \end{array}$


Logo, trata-se também de uma EDO exata. Encontrando a função potencial $\varphi(x,\,y):$

$\dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,\,y)\\\\\\ \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=x+3y$


Primitivando em $x,$ temos

$\dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,\,y)\\\\\\ \varphi(x,\,y)=\dfrac{x^2}{2}+3xy+g(y)~~~~~~\mathbf{(iii)}$


Derivando em relação a $y,$

$\dfrac{\partial \varphi}{\partial y}=3x+g'(y)\\\\\\ Q(x,\,y)=3x+g'(y)\\\\ 3x+y=3x+g'(y)\\\\ g'(y)=y\\\\ g(y)=\dfrac{y^2}{2}$


Portanto, por $\mathbf{(iii)},$ temos que

$\varphi(x,\,y)=\dfrac{x^2}{2}+3xy+\dfrac{y^2}{2}$


E a solução geral da EDO é

$\dfrac{x^2}{2}+3xy+\dfrac{y^2}{2}=C_1\\\\\\ x^2+6xy+y^2=C~~~~~~(\text{onde }C=2C_1)$


Para facilitar o esboço de uma das soluções, podemos isolar $y$ em função de $x:$

( resolver equação quadrática em $y$ )

$y^2+(6x)y+(x^2-C)=0\\\\\\ \Delta=(6x)^2-4\cdot 1\cdot (x^2-C)\\\\ \Delta=36x^2-4x^2+4C\\\\ \Delta=32x^2+4C\\\\ \Delta=4\cdot (8x^2+C)$


Então, devemos ter $C$ uma constante tal que $\Delta\ge 0.$ Dessa forma,

$y=\dfrac{-6x\pm \sqrt{4\cdot (8x^2+C)}}{2}\\\\\\ y=\dfrac{-6x\pm 2\sqrt{8x^2+C}}{2}\\\\\\ y=-3x\pm \sqrt{8x^2+C}$


Então, temos duas possibilidades para as soluções $y$ em função de $x:$

$\begin{array}{rcl} y=-3x+\sqrt{8x^2+C}&~\text{ ou }~&y=-3x-\sqrt{8x^2+C} \end{array}$


Como caso particular, podemos tomar a solução com o sinal positivo na raiz quadrada.

Fazendo $C=0,$ garantimos que o radicando nunca será negativo:

$y=-3x+\sqrt{8x^2+0}\\\\ y=-3x+\sqrt{8x^2}\\\\ y=-3x+\sqrt{8}\cdot \sqrt{x^2}\\\\ y=-3x+2\sqrt{2}\cdot |x|\\\\ y=2\sqrt{2}\cdot |x|-3x=\left\{ \!\begin{array}{ll} (2\sqrt{2}-3)x&\text{se }x\ge 0\\\\ (-2\sqrt{2}-3)x&\text{se }x< 0 \end{array} \right.$

( note que é contínua em x = 0 )


O gráfico é a união de duas semirretas, com coeficientes angulares

$(-2\sqrt{2}-3)~\text{ e }~(2\sqrt{2}-3)$

respectivamente. O gráfico desta função segue em anexo.


Bons estudos! :-)