Question

(ENADE- 2011) Um baralho tem 52 cartas, organizadas em 4 naipes, com 13 valores diferentes para cada naipe. Os valores possíveis são: Ás, 2, 3, ..., 10, J, Q, K. No jogo de poker, uma das combinações de 5 cartas mais valiosas é o full house, que é formado por três cartas de mesmo valor e outras duas cartas de mesmo valor. São exemplos de full houses: i) três cartas K e duas 10 (como visto na figura) ou ii) três cartas 4 e duas Ás. Quantas possibilidades para full house existem em um baralho de 52 cartas?

Answer 1

$C_{(n,p)}\ = \ \binom{n}{p} \ = \ \frac{n!}{(n \ - \ p)! \ . p!} \\ \\ (C_{(n,p)} \ \rightarrow \ Combina\c{c}\~ao \ de \ n \ ''fatores'' \ em \ p \ ''espa\c{c}os'')$

$Para \ formar \ um \ full \ house, teremos \ que \ ter :$

$3 \ cartas \ de \ valores \ iguais \ (4 \ naipes \ poss\'iveis);$

$2 \ cartas \ de \ valores \ iguais \ (4 \ naipes \ poss\'iveis);$

$(Lembrando \ que \ esses \ dois \ valores \ s\~ao \ obviamente \ diferentes)$

$Para \ o \ trio \ \rightarrow \\ \\ Primeiro, \ temos \ 13 \ valores \ ([\'As,\ 2, \ 3, \ ... \ Rei]) \ poss\'iveis.$

$Temos \ que \ ter \ 3 \ cartas \ de \ 4 \ naipes \ existentes. \ Ent\~ao \ temos : \\ \\ C_{(4,3)} \\ (Combina\c{c}\~ao \ pois \ aqui \ n\~ao \ importa \ a \ ordem \ dos \ naipes \ : \\ Copas, \ Paus \ e \ Ouros \ = Ouros, \ Copas \ e \ Paus \ (por \ exemplo))$

$Ent\~ao, \ para \ os \ trios, \ temos \ \rightarrow \\ \\ 13 \ . \ C_{(4,3)}$

$Para \ as \ duplas \ \rightarrow \\ \\ Como \ j\'a \ usamos \ 1 \ valor, \ temos \ dispon\'iveis \ (13 \ - \ 1) \ = \ 12 \ valores.$

$Mesma \ l\'ogica, \ temos \ que \ ter \ 2 \ cartas \ de \ 4 \ naipes \ existentes. \\ Ficamos \ com : \\ \\ C_{(4,2)}$

$Ent\~ao, \ para \ as \ duplas, temos \rightarrow \\ \\ 12 \ . \ C_{(4,2)}$

$O \ total \ de \ combina\c{c}\~oes \ poss\'iveis \ fica :$

$13 \ . \ C_{(4,3)} \ . \ 12 \ . \ C_{(4,2)} \ = \ \\ \\ 13 \ . \ \frac{4!}{(4 \ - \ 3)! \ . \ 3!} \ . \ 12 \ . \ \frac{4!}{(4 \ - \ 2)! \ . \ 2!} \ = \ \\ \\ 13 \ . \ \frac{4!}{1! \ . \ 3!} \ . \ 12 \ . \ \frac{4!}{2! \ . \ 2!} \ = \ \\ \\ 13 \ . \ 4 \ . \ 12 \ . \ \frac{4 \ . \ 3 \ . 2!}{2! \ . \ 2 \ . \ 1} \ = \ \\ \\ 13 \ . \ 4 \ . \ 12 \ . \ 6 \ = \ \\ \\ \boxed{\boxed{3744 \ combina\c{c}\~oes !}}$