Question

[EN/2016] Um tanque de combustível tem a forma de um cilindro circular reto e sua altura mede três metros. O raio da base do cilindro vale, em metros, o dobro da soma dos cubos dos inversos das raízes da equação: $\mathtt{x^4 + 4x^3 + 8x^2 + 8x + 4 = 0}$. A área lateral do tanque, em m², mede


A) 6pi

B) 12pi

C) 18pi

D) 36pi

E) 48pi

Answer 1

$k(x) =x^4 + 4x^3 +8x^2 + 4 ~~raizes: ~a, b, c\\p(x) =4x^4+8x^3+8x^2+4x+1~~raizes: ~\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$

$p'=\frac{d}{dx}(4x^4+8x^3+8x^2+4x+1)$

$p'(x)=\frac{d}{dx}(4x^4)+\frac{d}{dx}(8x^3)+\frac{d}{dx}(8x^2)+\frac{d}{dx}(4x)+\frac{d}{dx}(1)$

$p'(x)=4 \times 4x^3 + 8 \times 3x^2 + 8 \times 2x + 4 +0$

$p'(x) = 16x^3+24x^2+16x+4$

$\begin{array}{r|l}16x^3+24x^2+16x+4&\underline{4x^4+8x^3+8x^2+4x+1}\\\underline{-16x^3-32x^2-32x-16-\frac{4}{x} }&\frac{4}{x}+\frac{(-2)}{x^2}+\frac{1}{x^4} \\-8x^2-16x-12-\frac{4}{x} &\\\underline{8x^2+16x+16+\frac{8}{x}+\frac{2}{x^2} }&\\4+\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2} \end{array}$

$\frac{4}{x} \\S_0=4$ ↔ $\frac{(-2)}{x^2} \\S_1= -2$ ↔ $\frac{0}{x^3} \\S_2=0$ ↔ $\frac{1}{x^4}\\ S_3=1$

$\frac{1}{a^3} +\frac{1}{b^3} +\frac{1}{c^3}=1\\ R=2m$

$A_L=2\pi \times 2 \times 3= \boxed{12\pi m^2}$

$\boxed{\begin{array}{lr}b) ~12pi\\\\12 \pi\end{array}}$