Question

Em uma urna existem n bolas numeradas de 1 a n. Retirando-se duas bolas simultaneamente, ao acaso, qual a probabilidade de obter duas bolas numeradas com números sucessivos?

O gabarito diz que a resposta é 2/n, mas só consigo chegar em n/2

Answer 1

Resposta: 2/n

Explicação passo-a-passo:

Eu comecei pensando da seguinte forma: se eu substituísse o n por 5, logo o número de conjuntos de números sucessivos seria 4, sendo eles {(1,2),(2,3),(3,4)e (4,5)} totalizando 4 conjuntos. Levando isso para uma propriedade geral, o número de conjuntos que podemos obter de números sucessivos para n números é sempre n-1.

Agora para obtermos o número de conjuntos totais que podem ser formados na retirada de duas bolas, vamos criar um arranjo.

An,2 = n!/(n-2)!= n.(n-1).(n-2)!/(n-2)!=n(n-1)

Lembrando que quando tirarmos as duas bolas a ordem não vai importar, ou seja, se tirarmos o número 1 e o número 2 eles são sucessivos independente da ordem da retirada, logo o conjunto total "n(n-1)" deve ser dividido por 2.  

A expressão final fica:

$\frac{(n-1)}{\frac{(n-1).n}{2} } =\frac{2(n-1)}{n(n-1)} =\frac{2}{n}$

Espero ter ajudado :)