Matemática, perguntado por anaasoldatti, 10 meses atrás

Em uma universidade, uma pessoa precisa se deslocar de um ponto A até um ponto B e, para isso utiliza um mapa do campus, conforme a figura abaixo. Se visto de cima, a forma do campus é dada por três circunferências concêntricas, sendo que duas delas são divididas em seis partes iguais, de forma que os raios e arcos determinam os caminhos pelos quais os pedestres se deslocam. O raio da circunferência maior mede 340 metros, o da circunferência intermediária, 120 metros e o da menor circunferência, 30 metros.

Considere o valor de π com aproximação de, pelo menos, uma casa decimal.

Para utilizar o caminho mais curto, essa pessoa deve percorrer uma distância igual a:

a) 20π + 400

b) 40π + 400

c) 50π + 400

d) 80π + 220

e) 100π + 220

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por hrickgtr

Resposta:

Alternativa B.

Explicação passo-a-passo:

Boa tarde! ^^

O assunto aqui é medida de arcos de circunferência. Para você ter um exercício desse pra fazer eu vou supor que você conheça a matéria. Se não for o caso me avise e eu edito a resposta para incluir mais coisas.

Na figura que eu anexei estão coloridos todos os caminhos possíveis de serem feitos, eu vou usar as letras que estão na figura para representar o é possível andar por eles, ok? Por exemplo, para andar do ponto A até o ponto I, eu vou usar simplesmente "A-I". E para andar A até o ponto K vai ser "(A-I)+(I-K)". Não é uma notação padrão (na verdade ninguém utiliza dessa maneira), mas é só para que eu não gaste tanto tempo e dê para você entender mesmo assim, certo?

Olhe bem na figura e perceba que se usarmos o caminho "(A-I)+(I-J)+(J-B)", será o caminho mais comprido, visto que é o arco de uma circunferência com 340 metros de raio. Então podemos excluir esse caminho.

Podemos excluir também o caminho "(A-I)+(I-K)+(K-O)+(O-M)+(M-N)+(N-B)", por motivos óbvios.

Excluímos também "(A-M)+(M-O)+(O-L)+(L-B)", pois andar (K-O) é melhor que andar (I-M).

Só nos restou dois possíveis caminhos, que são "(A-N)+(N-B)" ou "(A-I)+(I-K)+(K-L)+(L-B)". Nos resta saber qual deles é o menor.

Agora que você já entendeu, vamos formalizar tudo.

PRIMEIRO CAMINHO POSSÍVEL: "(A-N)+(N-B)"

Formalizando, esse caminho é a soma dos arcos AI mais os arcos IM e MN mais o segmento NB.

O comprimento de um arco é determinado pelo ângulo central que forma esse ângulo em radianos multiplicado pelo raio da circunferência.

Como os circunferências estão dividias em 6 partes, 360/6 = 60, então o ângulo central que formam cada um dos arcos é 60º, com exceção do arco AI, que a figura mostra que mede 30º.

Em radianos, 30º é o mesmo que $\frac{\pi}{6}$ , e 60º é o mesmo que $\frac{\pi}{3}$ .

AI mede $\frac{\pi}{6}$ multiplicado pelo raio, portanto:

$AI=\frac{120\pi}{6}=20\pi$

O arco IN mede duas vezes um arco $\frac{\pi}{3}$ multiplicado pelo raio, portanto:

$IN=\frac{240\pi}{3}=80\pi$

O segmento NB mede o raio da circunferência de 340 menos o raio da circunferência de 120, portanto NB mede 220.

Somando tudo temos:

$20\pi+80\pi+220=100\pi+220$

Adotando $\pi=3,1$ temos que o caminho todo mede 530 metros.

SEGUNDO CAMINHO POSSÍVEL: "(A-I)+(I-K)+(K-L)+(L-B)"

Somando os arcos AI + KL temos:

$\frac{120\pi}{6}+\frac{60\pi}{3}=20\pi+20\pi=40\pi$

O segmento IK mede o raio da circunferência de 120 menos o raio da circunferência de 30, então ele mede 90.

O segmento LB mede o raio da circunferência de 340 menos o raio da circunferência de 30, então ele mede 310.

Assim temos:

$IK+LB=90+310=400$

Somando tudo, e usando $\pi=3,1$ temos:

$40\pi+400=524$

Temos que o caminho todo mede 524 metros.

E assim chegamos a nossa resposta, que o menor caminho que a pessoa irá percorrer é de $40\pi+400$ , alternativa B.

Bons estudos!

Anexos:

Respondido por mrpilotzp04

A pessoa deve percorrer uma distância igual a b) 40π + 400, para utilizar o caminho mais curto. Para chegar a esses valores, é necessário saber como calcular perímetros e arcos de uma circunferência.

Encontrando o caminho mais curto

Olhando para a imagem, o caminho mais curto consiste em sair de B, chegando na circunferência menor pela direção radial, andar no sentido anti-horário, chegar na circunferência intermediária e andar novamente no sentido intermediário, até chegar em A.

Assim, podemos dividir os trechos percorridos da seguinte forma: