Question

Em uma turma de estudantes, 8 alunos praticam futebol e voleibol, 10 praticam
natação e futebol, 6 praticam voleibol e natação, 3 praticam todos os esportes, 2 praticam somente futebol, 3 praticam somente natação e 1 pratica somente voleibol.
A quantidade de grupos distintos compostos por 3 alunos que poderemos formar, com os alunos dessa turma, é de:
(A) 2.024
(B) 4.048
(C) 5.456
(D) 12.144

Answer 1

Resposta:

A opção correta é (A) 2.024

Explicação passo a passo:

Para determinar o número total de estudantes usamos o Diagrama de Venn conforme a figura anexa. Nele, desenhamos 3 conjuntos, dos estudantes que praticam futebol, voleibol e natação. Os 3 conjuntos se intersectam 2 a 2 e existe uma intersecção entre os 3 também (área em vermelho).

A área em laranja contém os estudantes que praticam somente voleibol (1).

A área em amarelo contém os estudantes que praticam somente futebol (2).

A área em cinza claro contém os estudantes que praticam somente natação (3).

A área em vermelho contém os estudantes que praticam todos os 3 esportes.

As áreas em branco contém os estudantes que praticam somente 2 esportes. Por exemplo, 8 estudantes praticam futebol e voleibol, dentre eles 3 praticam todos esportes, portanto 8-3=5 estudantes praticam somente futebol e voleibol.

Tendo o diagrama completo, somamos todas as quantidades das áreas distintas chegando a 24 estudantes.

O número de combinações distintas de N elementos em subconjuntos de  P elementos (P <= N) é dado pela fórmula abaixo da análise combinatória:

$\frac{N! }{P!*(N-P!)}$

Portanto temos:

$\frac{24! }{3!*(24-3!)} = \frac{24! }{3!*(21!)} = \frac{24 * 23 * 22 * 21 !}{3*2*1 * 21!} = \frac{24*23*22}{6} = 2.024$