Question

Em uma turma de 6 meninos e 8 meninas serão formados 6 grupos das seguintes maneiras:
• 4 duplas, cada uma com 1 menino e 1 menina
• 2 trios, cada um com 1 menino e 2 meninas.
O número de maneiras distintas em que esses 6 grupos podem ser formados é

Answer 1

Resposta:

Alternativa B: 2 x 6! x 7!

Explicação passo-a-passo:

Esta questão está relacionada com análise combinatória. Vamos calcular a quantidade de combinações diferentes para cada dupla. Note que, a cada grupo formado, restam menos alunos para formar os próximos.

Dupla 1:

$C_{6,1}\times C_{8,1}=\frac{6!}{5!1!}\times \frac{8!}{7!1!}=8\times 6$

Dupla 2:

$C_{5,1}\times C_{7,1}=\frac{5!}{4!1!}\times \frac{7!}{6!1!}=7\times 5$

Dupla 3:

$C_{4,1}\times C_{6,1}=\frac{4!}{3!1!}\times \frac{6!}{5!1!}=6\times 4$

Dupla 4:

$C_{3,1}\times C_{5,1}=\frac{3!}{2!1!}\times \frac{5!}{4!1!}=5\times 3$

De maneira análoga, vamos calcular as combinações para os dois trios que podem ser formados.

Trio 1:

$C_{2,1}\times C_{4,2}=\frac{2!}{1!1!}\times \frac{4!}{2!2!}=2\times 3\times 2$

Trio 2:

$C_{1,1}\times C_{2,2}=1$

Agora, devemos multiplicar todas as combinações, resultando no seguinte:

$8\times 6\times 7\times 5\times 6\times 4\times 5\times 3\times 2\times 3\times 2=7257600$

Analisando as alternativas, podemos escrever esse valor da seguinte maneira:

$7257600=2\times 7!\times 6!$