Question

Em uma tabela 20×20, cada uma das células está colorida de preto ou branco. Chamaremos de recolorir uma linha ou uma coluna da tabela a operação de mudar a cor de todas as células da respectiva linha ou coluna de preto para branco ou de branco para preto.


Se n é o total de células pretas na tabela e m é o total de células pretas em uma linha da tabela, calcule o total de células pretas na tabela após recolorir aquela linha. Justifique.


Se, inicialmente, apenas 1 célula da tabela estiver colorida de preto, é possível tornar brancas todas as células da tabela recolorindo linhas ou colunas? Justifique.

(Dica: analise a paridade do total de células pretas na tabela).

Answer 1

1. 
20+n−2m
ou
n−m+20−m

Considerando que n é o total de células pretas na tabela inteira e m o total em apenas uma linha, conclui-se que n conta também as células m. Portanto para saber o total de células pretas na tabela sem contar aquela linha fazemos n−m. Para saber quantas células que ficaram pretas naquela linha após recolorir, subtraímos as células pretas daquela linha de 20 (20−m). Por fim soma-se o total de células pretas na tabela sem contar aquela linha (n−m) com as células daquela linha que ficaram pretas (20−m) que fica: n−m+20−m. Simplificando fica: 20+n−2m.

2. Não é possível pois temos 20(par) células por linha/coluna sendo elas 1(ímpar) célula preta e 19(ímpar) brancas. Se sempre que recolorimos uma linha/coluna invertemos a quantidade de células pretas e brancas ficaremos sempre com ímpares células pretas e ímpares células brancas células brancas. Sendo assim nunca conseguiremos deixar 20(par) células pretas em apenas uma linha/coluna para colorirmos ela e tornarmos todas brancas.
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