Question

Em uma tabela 20×20, cada uma das células está colorida de preto ou branco. Chamaremos de recolorir uma linha ou uma coluna da tabela a operação de mudar a cor de todas as células da respectiva linha ou coluna de preto para branco ou de branco para preto.


1 - Se n é o total de células pretas na tabela e m é o total de células pretas em uma linha da tabela, calcule o total de células pretas na tabela após recolorir aquela linha. Justifique.


2 - Se, inicialmente, apenas 1 célula da tabela estiver colorida de preto, é possível tornar brancas todas as células da tabela recolorindo linhas ou colunas? Justifique.

(Dica: analise a paridade do total de células pretas na tabela).

Answer 1

1. $n=420-2m$ 2. Não

1. Sendo:

• 400 o número total de células (20x20);
• n  o total de células pretas na tabela;
• m o total células pretas numa linha;
• células brancas na linha é dado por 20 - m, que será o novo total de céculas pretas na linha;

• n - m corresponde ao total de células pretas de toda a tabela excepto a linha em questão.

Então:

Número de células pretas é dado por $400-(n-m)+(20-m)$, arranjando a equação temos que, $n=420-2m$

2. Com um total de 400 células, temos 1 célula preta e 399 brancas, ou seja, tanto o número total de células brancas como pretas é ímpar.

Qualquer que seja a linha ou coluna que se recolorir, quando incluir essa célula, irá sempre ficar diferente das outras. Teriamos de ter mais células pretas inicialmente para conseguir transformar todas as células pretas em brancas.

A ideia é a mesma de quando falamos do cubo de Rubik ou cubo mágico.