Question

Em uma semana cultural de uma faculdade, serão exibidas as três peças teatrais "Pery e Ceci", "Os Ambulantes" e "Cova Rasa", repetidas a cada dia de segunda a sábado. Um estudante dessa faculdade deseja assistir a uma peça por dia de segunda a sábado, podendo assistir à mesma peça, mas garantindo que vai ver cada uma pelo menos uma vez. De quantas maneiras é possível ele fazer a sua escolha?

a) 6
b) 10
c) 28
d) 120
e) 216

Obs: a resposta certa é letra b mas não consigo chegar nesse resultado​

Answer 1

É possível fazer a sua escolha de b) 10 maneiras.

Veja como resolvemos a questão:

1º => Apenas nos interessa o nº de vezes que o estudante irá assistir à cada peça;

2º => Assim considerando, distribuímos os 6 (seis) dias (de segunda a sábado) para as três peças que serão exibidas.

Sabendo que cada peça deverá ser vista pelo estudante pelo menos uma vez, damos 3 dias para cumprir isso, nos sobrando mais 3 dias. Veja algumas possibilidades a partir disso:

1 (Pery e Ceci) + 1 (Os Ambulantes) + 1 (Cova Rasa)

2 (Pery e Ceci) + 1 (Os Ambulantes) + 0 (Cova Rasa)

0 (Pery e Ceci) + 0 (Os Ambulantes) + 3 (Cova Rasa)

0 (Pery e Ceci) + 3 (Os Ambulantes) + 0 (Cova Rasa)

3º => Veja que, ao observar os exemplos possíveis, temos o seguinte: Pery e Ceci + Os Ambulantes + Cova Rasa = 3, sendo que nº que corresponde a cada peça teatral é um nº que se caracteriza por se inteiro e positivo.

Desse modo, precisamos saber como fazemos para encontrar raízes inteiras positivas de equações lineares, o que pode ser feito por combinação com repetição e/ ou com permutação com repetição. Vamos escolher esse último (permutação com repetição).

4º => Agora, vamos voltar à equação = Pery e Ceci + Os Ambulantes + Cova Rasa = 3 e imaginemos que a cada vez que colocamos um dia em uma das 3 peças teatrais, preenchemos, de forma correspondente, com uma barra. Veja as possibilidades :

• | + | + |

• || + | +

• +  + |||

• + ||| +

5º => Independente de como façamos a combinação, temos que sempre haverá 3 barras e dois sinais de +. E o que isso significa? Significa que temos exatamente a permutação de 5 elementos => 5! Ainda, temos elementos que se repetem que devem, portanto, ser excluídos => repetição de 3 barras (3!) e de dois sinais de + (2!). Assim, temos a seguinte fórmula (a partir da qual encontramos a resposta):

• P5*³² (O "5" está sobrescrito, certo?) = $\frac{5!}{3! . 2!} = \frac{5. 4. 3!}{3! . 2!} = 10$

Espero ter ajudado, bons estudos!