Em uma sala havia 30 pessoas. A média aritmética e o desvio padrão das alturas das pessoas na sala eram iguais a 1,70 m e d m, respectivamente, sendo d > 0 . Após 3 pessoas se retirarem da sala, sendo que essas 3 pessoas tinham 1,70 m de altura cada uma, o desvio padrão, em metros, das alturas das 27 pessoas que permaneceram na sala ficou igual a
Soluções para a tarefa
Cara, essa é um pouco complicada de explicar, mas vamos lá:
Primeiro vamos definir alguns termos:
-> vamos usar o "∑" como símbolo de Somatório;
-> chamar de xi a altura de cada pessoa na sala;
-> N é o número de pessoas na sala;
-> M1 é a média da altura das 30 pessoas;
Sabemos que a média é dada por:
M = ∑xi/N
A média inicial das 30 pessoas foi dada, então:
M1 = 1,7 então
1,7 =∑xi/30
Vamos isolar o Exi (será usado para encontrar M2)
∑xi = 30*1,7 = 51
Agora precisamos encontrar a média das 27 pessoas, vamos chamar de M2.
Sabemos que 3 pessoas saíram da sala, todas com 1,7 de altura, ou seja: 3*1,7 =
5,1
Então M2 será
M2= (Exi - 5,1)/(27) = (51-5,1)/27 = 1,7 --->note que a média
permaneceu igual.
Agora podemos encontrar a relação entre o desvio padrão das 30 pessoas
(chamemos de ‘d’) e o desvio padrão das 27 pessoas (d2). A fórmula de desvio
padrão é:
d = ((∑(xi - M)^2)/N)^1/2 (note que o
desvio padrão é dado pelo somatório dos desvios unitários (xi -M)^2)
No exercício foi falando que as 3 pessoas que saíram tem 1,70, então os desvios
unitários delas serão igual a zero. Logo, a única diferença entre o d e d2 é o
N, pois a saída das três pessoas não vai alterar no somatório dos desvios
unitários.
Então, vamos chamar (xi -M)^2 de Y. Logo:
d=(y/30)^1/2 e d2 =(y/27)^1/2
Agora vamos isolar y em d (elevando os dois lados ao quadrado), para encontrar a relação entre d e d2
y = 30d^2
Então:
d2 = (30d^2/27)^1/2 (simplificando dividindo por 3 e tirando d^2 e o 9 (27/3)da raiz)
temos, finalmente:
d2 = d/3 *(10)^1/2