Question

Em uma sala há 6 homens e 4 mulheres. Quais são as possibilidades de filas em que as mulheres ficam intercaladas por apenas um homem?

Answer 1

-> Vou resolver de duas maneiras 

->Na 1° Resolução vou dividir as possibilidades em casos menores para que seja mais fácil você entender 

-> Onde Mulheres são ( M ) e homens ( H )

-> Começarei escrevendo todos os casos possíveis em que ocorre intercalação e já calculando pelo Princípio Fundamental da Contagem utilizando a quantidade de itens ( 4 mulheres e 6 homens ) :
 
.1°  Caso :

      M / H / M / H / M / H / M / H / H  / H
      4 .  6  . 3 .  5 .  2  .  4 .  1  . 3 .  2   . 1  = 17280

→ Perceba que esse números que vão diminuindo de maneira relacionada como cada elemento analisado ( por exemplo as opções para intercalar mulheres vão diminuindo entre elas a medida que as opções são utilizadas

2° Caso :

     H / M / H / M / H / M / H / M / H / H 
     6 .  4 .  5 .  3 .  4  .  2 .  3  . 1  . 2  . 1  = 17280

3° Caso :

      H / H / M / H / M / H / M / H / M / H
      6 .  5 .  4 . 4 .  3   .  3 .  2 .  2 .  1  . 1  =  17280

4° Caso :
 
       H / H / H / M / H / M / H / M / H / M
       6 .  5 . 4 .  4 .  3  .  3 .  2  .  2  . 1  . 1  = 17280

-> Agora para  descobrir o total de possibilidade basta somar todos os casos
  
     T = 17280 + 17280 + 17280 + 17280
     T = 69120 possibilidades

-> Outra maneira também de realizar essa questão , talvez um pouco menos confusa  e um pouco mais complexa seria você percebe que irá realizar permutações de 4 mulheres entre si e também de 6 homens entre si. De tal maneira que que eles podem ser considerados dois conjuntos separados que vão ser '' orientados '' da maneira desejada , desse modo ainda seria necessário calcular os casos para que se possa multiplicar pelas permutações obtidas :
  
         T = ( P₄ )  . ( P₆ ) . 4 
         T = (4.3.2.1) . ( 6.5.4.3.2.1) .4
         T = 69120 casos