Question

Em uma região plana, um topógrafo vê, ao longe, uma torre de transmissão segundo um ângulo de 30°. Após caminhar uma distância de 50 m em direção à torre, ele passa a vê-la segundo um ângulo de 60°. A altura da torre é, aproximadamente,

Answer 1

Acompanhe com auxilio do desenho anexo.

Note que, no desenho, os triângulos ABC e BCD, que descrevem a situação, são retângulos no ponto C.

Por serem retângulos, podemos aplicar as formulações de seno, cosseno e tangente nestes triângulos.

Para o triangulo ABC:

--> A altura "h" da torre é o cateto oposto ao ângulo de 30° e o segmento AC é o cateto adjacente ao ângulo de 30°.

Para o triangulo ABC:

--> A altura "h" da torre é o cateto oposto ao ângulo de 60° e o segmento CD é o cateto adjacente ao ângulo de 60°.

Sendo assim, podemos utilizar a formulação da tangente no dois triângulos:

$\boxed{tg(\theta)~=~\frac{cateto~oposto}{cateto~adjacente}}\\\\\\\\tg(30^\circ)~=~\frac{h}{50+x}\\\\\\\frac{\sqrt{3}}{3}~=~\frac{h}{50+x}\\\\\\(50+x)~.~\sqrt{3}~=~3~.~h\\\\\\50+x~=~\frac{3h}{\sqrt{3}}\\\\\\\boxed{x~=~\frac{3h}{\sqrt{3}}-50}\\\\\\\\\\tg(60^\circ)~=~\frac{h}{x}\\\\\\\sqrt{3}~=~\frac{h}{x}\\\\\\Substituindo~o~x\\\\\\\sqrt{3}~=~\frac{h}{\frac{3h}{\sqrt{3}}-50}\\\\\\h~=~\sqrt{3}~.~\left(\frac{3h}{\sqrt{3}}-50\right)\\\\\\h~=~3h-50\sqrt{3}$

$h~=~3h-50\sqrt{3}\\\\\\3h-h~=~50\sqrt{3}\\\\\\2h~=~50\sqrt{3}\\\\\\\boxed{h~=~25\sqrt{3}~m~~~ou~~\approx~43,30\,m}$