Question

Em uma questão de prova de cálculo,os alunos precisavam utilizar conhecimentos de funções exponencial e logarítmica para encontrar o ponto(x,y)que satisfaz simultaneamente as equações:

10. (2. In x)-10=0 e y=10x. (2-in x).

Por favor URGENTE!!!

Preciso das CONTAS!!!!!

Answer 1

Com base nas propriedades logarítmicas para o logaritmo neperiano, isto é, logaritmo na base e, o ponto em comum entre as duas funções é dado por: (√e, 10√e)

Logaritmo neperiano

O logaritmo, na matemática, é dada como o inverso da função exponencial. Para se descobrir o valor de uma incógnita que está no expoente de um número, por exemplo, usa-se o logaritmo.

Matematicamente, temos:

$\boxed{\log_a b=c \rightarrow b=a^c}$

Para o logaritmo neperiano segue-se o mesmo raciocínio com exceção de que a base a é igual ao número de Euler, dado por e.

Portanto:

$\boxed{ \ln a= \log_e a}$

Para o problema dado há duas equações que envolvem o logaritmo neperiano. Resolvendo-as separadamente:

$10.(2 \ln x)-10=0\\\\10(2 \ln x)=10\\\\2 \ln x=1\\\\\ln x=1/2\\\\\log_e x=1/2\\\\x=e^{1/2}=\sqrt{e}$

Portanto, temos o valor para x, e como o problema pede para que haja x e y que satisfaçam as duas equações, deve-se substituir o valor de x encontrado na segunda.

Então:

$y=10x(2 \ln x)\\\\y=10 e^{1/2}(2 \ln e^{1/2})\\\\y=10e^{1/2}(2 \frac{1}{2} \ln e)\\\\y=10e^{1/2} \ln e$

Neste passo, deve-se levar em conta a seguinte propriedade dos logaritmos:

$\boxed{log_e e=1}$

Portanto:

$y=10\sqrt{e}$

Então, o ponto em comum entre as duas funções é (√e, 10√e)

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