Question

Em uma quadrilha de são João há 5 casais. De quantas maneiras eles podem ficar em círculo se os casais deseja ficar um ao lado do outro.

Answer 1

Acho que de 10 maneiras diferentes

Answer 2

Há 2 maneiras de se posicionarem os parceiros de cada casal. Ou seja, há um total de $2^5 = 32$ maneiras de posicionar os parceiros (os casais serão posicionados a seguir).

A quantidade de maneiras que é possível posicionar 5 elementos em linha corresponde a uma permutação de 5 elementos (5! = 120). Porém, quando se trata de uma permutação circular, há de se dividir pela quantidade de círculos repetidos que foram obtidos pela rotação de uma permutação específica. Veja o exemplo a seguir.

Suponha que os casais abaixo estão conectados pelas pontas, formando um círculo. Logo, as duas permutações abaixo equivalem ao mesmo círculo:
$c_1, c_2, c_3, c_4, c_5$

e

$c_2, c_3, c_4, c_5, c_1$

Portanto, o total de permutações circulares de 5 casais é

$\cfrac{5!}{5} = 4! = 24$

Total (agora considerando a ordem dos parceiros anteriormente calculada):

$32 \cdot 24 = 768$ permutações.