Question

Em uma prova de orientação você recebe a tarefa de se afastar o máximo possıvel de um acampamento através de tres deslocamentos retilíneos. Você pode usar os seguintes deslocamentos, em qualquer ordem: (a) a, 2, 0 km para leste; (b) b, 2, 0 km e 30◦ norte do leste; (c) c, 1, 0 km para oeste. Voce pode também substituir o sentido de b e c, ou seja, b por −b e c por −c. Qual ´e a maior distancia que você pode atingir após o terceiro deslocamento?

Answer 1

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⠀⠀☞ A maior distância que podemos atingir com os três deslocamentos e as transformações disponíveis é de aproximadamente 4,83 km. ✅

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⠀⠀Faremos neste exercício um módulo de uma soma de vetores, utilizando das transformações disponíveis para que o sentido horizontal e vertical dos vetores seja o mesmo, para que a associação dos vetores não resulte em um regresso ao invés de progresso. Vamos inicialmente decompor o vetor b nas duas direções:

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$\blue{\Large\sf~~\begin{cases}\sf~sen(30) = \dfrac{b_y}{b}~~\longrightarrow~~ b_y = sen(30) \cdot b \\\\ \sf~cos(30) = \dfrac{b_x}{b}~~\longrightarrow~~ b_x = cos(30) \cdot b \end{cases}}$

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⠀⠀Desta forma, temos duas opções de deslocamento que resultarão em uma mesma distância, invertendo o sentido de a e b ou o sentido de c:

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⠀⠀⇒ a + b - c

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⠀⠀⇒ c - a - b

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⠀⠀Ambos resultarão no deslocamento horizontal de:

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$\LARGE\blue{\sf d_x = 2 + cos(30) \cdot b + 1}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf d_x = 2 + \dfrac{\sqrt{3}}{\diagup\!\!\!\!{2}} \cdot \diagup\!\!\!\!{2} + 1 }}$

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$\LARGE\blue{\sf d_x = 3 + \sqrt{3}}$

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$\LARGE\blue{\sf d_x \approx 3 + 1,73}$

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$\LARGE\blue{\sf d_x \approx 4,73}$

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⠀⠀E no deslocamento vertical de:

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$\LARGE\blue{\sf d_y = sen(30) \cdot b}$

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$\LARGE\blue{\sf d_y = \dfrac{1}{2} \cdot 2}$

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$\LARGE\blue{\sf d_y = 1}$

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⠀⠀Podemos, desta forma, encontrar a distância do ponto de partida até o ponto de chegada através da hipotenusa de um triângulo retângulo formado por catetos iguais à distância horizontal e vertical:

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$\LARGE\blue{\sf d^2 = d_x^2 + d_y^2}$

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$\LARGE\blue{\sf d^2 \approx 4,73^2 + 1^2}$

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$\LARGE\blue{\sf d^2 \approx 22,37 + 1}$

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$\LARGE\blue{\sf d^2 \approx 23,37}$

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$\LARGE\blue{\sf \sqrt{d^2} \approx \pm \sqrt{23,37}}$

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⠀⠀Como a distância é uma grandeza positiva então tomaremos somente a solução positiva desta raiz:

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$\LARGE\blue{\sf d \approx 4,83}$

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{d}~\pink{\approx}~\blue{ 4,83 }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$

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⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$