Question

Em uma prova de ciclismo de estrada, utilizam a pista figura abaixo, As letras maiúsculas indicam os pontos de verificação do tempo. as retas são indica pelas letras minúsculas. Determine os valores de cada reta e o tamanho da pista. O plano cartesiano indica as medidas em metro

Answer 1

A distância entre dois pontos, P e Q, cujas coordenas são conhecidas é:

$d_{P,Q} = \sqrt{(x_P - x_Q)^2 + (y_P - y_Q)^2}$

O primeiro passo é reconhecer as coordenadas dos pontos que formam a pista:

A = (350, 350)

B = (150, 350)

C = (50, 300)

D = (250, 50)

E = (450, 300)

Então calculamos as distâncias entre dois pontos que formam um segmento:

$f = d_{A,B} = \sqrt{(350 - 150)^2 + (350 - 350)^2}$

$f = \sqrt{(200)^2 + 0^2}$

$f = \sqrt{(200)^2}$

$\boxed{f = 200 \text{ m}}$

$g = d_{B,C} = \sqrt{(150 - 50)^2 + (350 - 300)^2}$

$g = \sqrt{100^2 + 50^2}$

$g = \sqrt{10000+2500}$

$g = \sqrt{12500}$

$\boxed{g= 50 \cdot \sqrt{5} \text{ m}}$

$h = d_{C, D} = \sqrt{(50 - 250)^2 + (300 - 50)^2}$

$h = \sqrt{200^2 + 250^2}$

$h = \sqrt{40000+62500}$

$h = \sqrt{102500}$

$\boxed{h= 50 \cdot \sqrt{41} \text{ m}}$

Agora, por uma questão de simetria temos que:

$i = h$

e:

$g = j$

Assim sendo, o tamanho total é a soma do comprimento das retas:

$T = f + g + h + i + j$

$T = f + g + h + h + g$

$T = f + 2 \cdot g + 2 \cdot h$

$T = 200+ 2 \cdot 50 \cdot \sqrt{5} + 2 \cdot 50 \cdot \sqrt{41}$

$T = 200+ 100 \cdot \sqrt{5} + 100 \cdot \sqrt{41}$

$T = 200+ 100 \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{41})$

$T = 200 + 100 \cdot 8.63919$

$T = 200 + 863.919$

$\boxed{T = 1063.919 \text{ m}}$