Question

em uma propriedade rural dois pastos retangulares são cercado, sua dimensões são a e b, com um lado comum a. sabendo que a area de cada pasto deve medir 400m^2.
determine as dimensões de a e b, de modo que o cumprimento da cerca seja minimo.

Answer 1

ab = 40 => a = 40/b
p = 3a + 4b => p = 3.40/b + 4b  => p = 120/b + 4b
p = 4b + 120b⁻¹
p' = 4 - 120b⁻²
O comprimento será minimo, quando 4 - 120b⁻² = 0
 120/b² = 4 => 4b² = 120 => b² = 30 => b = √30 

Compr. = 2b = 2√30 m = 10,95m  (aproximadamente)

O a não foi pedido, mas vamos calcular
a = 40/b = 40/√30 = (4√30)/3 m = 7,3  (aproximadamente)

Answer 2

Para que o comprimento da cerca seja mínimo, a deve ser $\frac{40\sqrt{3}} {3}$m e b deve ser $10\sqrt{3}$m

Função perímetro

O primeiro passo para resolvermos este problema é escrever a função cujo valor precisamos encontrar o mínimo. Para isso, olhemos a figura:

P(a, b) = 3a + 4b, a,b > 0

Agora escrevemos essa função perímetro com apenas uma variável. Sabemos que:

Área = a · b = 400

a = 400/b

P(b) = 3·400/b + 4b = 1200b⁻¹ + 4b

Pontos de inflexão

Para achar o máximo ou o mínimo de uma função, procuramos seus pontos de inflexão, derivando essa função e igualando a zero:

P'(b) = -1200b⁻² + 4 = 0

1200b⁻² = 4

4b² = 1200

b² = 1200/4 = 300

$b = \pm \sqrt {300} = 10 \sqrt 3$

Como b é positivo, o ponto de inflexão procurado é 10√3 ≅ 17,32m

Agora, podemos aplicar um teste simples para ver se o ponto é de máximo ou de mínimo. Como não temos outro ponto de inflexão entre 0 e 100, escolhemos alguns números, para substituir em b, incluindo o 10√3 e um número maior e outro menor que ele:

• P(10√3) = 1200/10√3 + 4·√3 = 120√3/3 + 4√3 = 40√3 + 4√3 = 44√3 ≅ 76,21
• P(1) = 1200/1 + 4·1 = 1204
• P(30) = 1200/30 + 4·30 = 40 + 120 = 160

Assim, esse b nos dá o perímetro mínimo de 76,21m

a · b = 400

a · 10√3 = 400

a = 400/10√3 = 40√3/3 ≅ 23,09m

Outras questões de máximos e mínimos podem ser conferidas em:

https://brainly.com.br/tarefa/279017

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#SPJ2