Question

Em uma promoção beneficente, 22 pessoas estão disponíveis para exercer diversas atividades. Se há necessidade de 6 pessoas na cozinha, 4 pessoas no balcão de atendimento, 4 pessoas para os caixas, 6 pessoas para vender cartelas de bingo e 2 pessoas responsáveis pela animação, de quantas maneiras é possível fazer a escalação?

Answer 1

Perceba que, para preencher as vagas em cada serviço, a ordem não é importante. Só estamos interessados em quem será escolhido (natureza dos elementos).

Sendo assim, podemos utilizar combinações para determinarmos o numero de maneiras diferentes de escolha.

Dessa forma, seguindo a ordem como foi escrita a questão, temos:

Cozinha: Temos ainda 22 pessoas aptas para escolha, ou seja, temos:

                $C_{22,6}~=~\frac{22!}{6!.(22-6)!}~=~\boxed{\frac{22!}{6!.16!}~~maneiras~de~escolher}$

Balcão: Das 22 pessoas 6 já foram escolhidas para cozinha, logo sobraram 16 pessoas aptas para escolha, ou seja, temos:

                $C_{16,4}~=~\frac{16!}{4!.(16-4)!}~=~\boxed{\frac{16!}{4!.12!}~~maneiras~de~escolher}$

Caixa: Das 22 pessoas 10 já foram escolhidas para cozinha e balcão, logo sobraram 12 pessoas aptas para escolha, ou seja, temos:

                $C_{12,4}~=~\frac{12!}{4!.(12-4)!}~=~\boxed{\frac{12!}{4!.8!}~~maneiras~de~escolher}$

Bingo: Das 22 pessoas 14 já foram escolhidas para cozinha, balcão e caixa, logo sobraram 8 pessoas aptas para escolha, ou seja, temos:

                $C_{8,6}~=~\frac{8!}{6!.(8-6)!}~=~\boxed{\frac{8!}{6!.2!}~~maneiras~de~escolher}$

Animação: Das 22 pessoas 20 já foram escolhidas para cozinha, balcão, caixa e bingo, logo sobraram 2 pessoas aptas para escolha, ou seja, temos:

                $C_{2,2}~=~\frac{2!}{2!.(2-2)!}~=~\boxed{\frac{2!}{2!.0!}~~maneiras~de~escolher}$

O total de maneiras diferentes será o produto das combinações achadas acima, sendo assim, temos:

$Total~=~C_{22,6}~.~C_{16,4}~.~C_{12,4}~.~C_{8,6}~.~C_{2,2}\\\\\\Total~=~\frac{22!}{6!.16!}~.~\frac{16!}{4!.12!}~.~\frac{12!}{4!.8!}~.~\frac{8!}{6!.2!}~.~\frac{2!}{2!.0!}\\\\\\Cortando~os~termos~comuns:\\\\\\Total~=~\frac{22!}{6!.1}~.~\frac{1}{4!.1}~.~\frac{1}{4!.1}~.~\frac{1}{6!.1}~.~\frac{1}{2!.1}\\\\\\Total~=~\frac{22!}{6!~.~6!~.~4!~.~4!~.~2!}\\\\\\Total~=~\frac{22!}{(6!)^2~.~(4!)^2~.~2}\\\\\\\boxed{Total~=~\frac{22!}{2.(6!)^2.(4!)^2}~~maneiras}$

Note que, porque 22! é um numero muito grande (na ordem de 10²¹), podemos deixar a resposta nesta forma, já que possiveis simplificações só deixariam a expressão maior.

No entanto, caso queira "quebrar a cabeça", podemos chegar, por exemplo na expressão: (22 . 21 . 19 . 18 . 17 . 14 . 13 . 11 . 10 . 7 . 6 . 5 . 3) maneiras.

Obs: No anexo, na questão 30, que toma como base a questão 29, a ordem de escolha das pessoas terá importancia (exceto no bingo).