Question

Em uma progressão geométrica temos: (a1, a2, a3 ......... a17). Sabendo que a1 x a17 = 144 qual o valor do termo a9 ?

Answer 1

O termo geral de uma progressão geométrica é dado por

$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1},\,\,n\ge1$

Então:

$a_{17}=a_{1}\cdot q^{17-1}=a_{1}\cdot q^{16}$

logo,

$a_{1}\cdot a_{17}=144~~\Longleftrightarrow\\\\a_{1}\cdot a_{1}\cdot q^{16}=144\\\\(a_{1})^{2}\cdot q^{16}=144\\\\(a_{1})^{2}\cdot(q^{8})^{2}=144\\\\(a_{1}\cdot q^{8})^{2}=144\\\\(a_{1}\cdot q^{9-1})^{2}=144$

Pelo termo geral, temos $a_{1}\cdot q^{9-1}=a_{9}$:

$(a_{9})^{2}=144~~\Longleftrightarrow\\\\\sqrt{(a_{9})^{2}}=\sqrt{144}=12\\\\|a_{9}|=12\\\\\boxed{\boxed{a_{9}=\pm12}}$

Não sabemos se $a_{9}$ é positivo ou negativo, mas seu valor absoluto é 12. O sinal do termo dependerá dos sinais de $a_{1}$ e $q$.