Question

Em uma progressão geométrica de n termos,A4=-8 e an=-1024 e Q=2.determine a quantidade de termos dessa p.g.

Answer 1

Olá.

Seguindo enunciado, temos:

a₄ = -8
aₙ = -1024
q = 2

Para encontrar o número de termos, podemos usar um termo geral que serve para encontrar qualquer termo sem precisar do 1°. Segue:
$\boxed{\boxed{\mathsf{a_n=a_k\times q^{n-k}}}}$

aₖ e k se referem, respectivamente, a a₄ e -8. 

Substituindo na expressão, teremos:
$\mathsf{a_n=a_k\times q^{n-k}}\\\\\mathsf{-1.024=-8\times2^{n-4}}$

Fatorando o 1.024, e o 8 ao mesmo tempo, teremos:
$\begin{array}{r|l}1024&2\\512&2\\256&2\\128&2\\64&2\\32&2\\16&2\\8&2\\4&2\\2&2\\1\end{array}$

Temos, que:
1.024 = 2¹⁰
8 = 2³

Substituindo, usando as formas com expoentes, teremos:
$\mathsf{-1.024=-8\times2^{n-4}}\\\\\mathsf{-(2^{10})=-(2^3)\times2^{n-4}}$

Tendo em vista que todas as bases são iguais, podemos nos focar apenas nos expoentes, igualando-os. Quando há multiplicação com potências de mesma base, mantém a base e soma-se os expoentes. Teremos:
10 = 3 + (n - 4)
10 = 3 + n - 4
10 = n - 1
10 + 1 = n
11 = n

Há 11 termos nessa PG.

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Bons estudos.