Question

Em uma progressão geometrica a soma entre o 2(segundo) e o 1(primeiro) termos é 4 e a soma entre o 7(sétimo) e o 6(sexto) termos é 12500. Qual o valor de a_1?

Answer 1

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$\begin{cases}\sf a_2+a_1=4\\\sf a_7+a_6=12500\end{cases}\\\sf a_2=a_1\cdot q\\\sf a_7=a_1\cdot q^6\\\sf a_6=a_1\cdot q^5\\\sf a_2+a_1=4\\\sf a_1\cdot q+a_1=4\implies a_1\cdot(q+1)=4\\\sf a_7+a_6=12500\\\sf a_1\cdot q^6+a_1\cdot q^5=12500\implies a_1\cdot q^5(q+1)=12500$

$\begin{cases}\sf a_1\cdot(q+1)=4~\boxed{\sf1}\\\sf a_1\cdot q^5(q+1)=12500~\boxed{\sf2}\end{cases}\\\sf fazendo~\dfrac{\boxed{\sf2}}{\boxed{\sf1}}~temos:\\\sf\dfrac{\diagdown\!\!\!\!\!a_1\cdot q^5\diagup\!\!\!\!(q+\diagup\!\!\!\!1)}{\diagdown\!\!\!\!a_1\cdot\diagup\!\!\!\!(q+\diagup\!\!\!1)}=\dfrac{12500}{4}\\\sf q^5=3125\\\sf q=\sqrt[\sf5]{\sf3125}=\sqrt[\sf\diagup\!\!\!\!5]{\sf5^{\diagup\!\!\!\!5}}=5\\\sf a_1\cdot(q+1)=4\implies a_1=\dfrac{4}{q+1}\\\sf a_1=\dfrac{4}{5+1}\\\sf a_1=\dfrac{4\div2}{6\div2}$

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf a_1=\dfrac{2}{3}\checkmark}}}}$