Question

Em uma progressão geométrica (5, 10, 20, 40, ...). Determine a soma dos oitos primeiros termos dessa PG.

Answer 1

Feitos os cálculos podemos concluir que a soma dos oitos primeiros termos dessa P.G.

$\large \boldsymbol{ \textstyle \sf S_8 = 1\: 275 }$.

Progressão geométrica ( P G ) é toda sequência de números na qual é constante o quociente da divisão de cada termo  ( a partir do segundo ) pelo termo anterior. Esse quociente constante é chamado razão ( q ) da progressão.

Considerando a sequência $\boldsymbol{ \textstyle \sf (\: a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, \cdots ) }$ como uma P.G de razão q, podemos escrever:

$\large \displaystyle \sf \sf a_2 = a_1 \cdot q$

$\large \displaystyle \sf \sf a_3 = a_2 \cdot q = a_1 \cdot q^2$

E sendo $\boldsymbol{ \textstyle \sf a_n }$ termo qualquer dessa P.G., temos:

$\large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf a_n = a_1 \cdot q^{n-1} }}$

Essa é formula termo de uma P.G.

Soma dos termos de uma progressão geométrica finita:

Considere a P.G $\boldsymbol{ \textstyle \sf (\: a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n\: ) }$ com razão $\boldsymbol{ \textstyle \sf q \neq 1 }$.

$\large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf S_n = \dfrac{a_1 \cdot (q^n - 1 ) }{q-1} }}$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \sf \begin{cases}\sf P. G. ( 5,10, 20,40, \cdots) \\\sf n = 8 \\\sf S_8 = \:?\\ \sf a_1= 5 \\ \sf a_2 = 10 \\ \sf q = \dfrac{a_2}{a_1} = 2 \end{cases}$

Assim, a soma dos 8 primeiros termos será:

$\large \displaystyle \sf \sf S_n = \dfrac{a_1 \cdot (q^n - 1 ) }{q-1}$

$\large \displaystyle \sf \sf S_8 = \dfrac{5 \cdot (2^8 - 1 ) }{2-1}$

$\large \displaystyle \sf \sf S_8 = \dfrac{5 \cdot (256 - 1 ) }{1}$

$\large \displaystyle \sf \sf S_8 = 5 \cdot 255$

$\large \boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf S_8 = 1\:275 }} }$

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