Em uma progressão aritmética, temos que a4 + a12 = 12 Calcule:
a)oitavo termo.
b) a soma de seus 15 primeiros termos
Soluções para a tarefa
A Progressão Aritmética é uma sequência de números na qual a diferença entre dois termos seguidos é sempre a mesma. Essa diferença é chamada de razão da P.A.
• Cada termo é identificado pela posição que ocupa na sequência. Para representar um termo de uma PA, utilizamos uma letra (eu uso “a”) seguida de um número que indica sua posição na sequência. Por exemplo:
a1 = primeiro termo da sequência
a2 = segundo termo da sequencia
a6 = sexto termo da sequencia
• Para encontrar algum termo de uma PA, utilizamos a fórmula do termo geral:
an = ak + (n-k)R
• Para encontrar a soma dos termos de uma P.A. finita, utilizamos a fórmula:
Sn = [ (a1 + an) . n ] / 2
em que:
Sn = soma dos n primeiros termos da PA
/ = aquele traço de uma fração
Entendido tudo isso, vamos para o exercício!
a) a8 = ?
a4 + a12 = 12
• Podemos formar outras duas equações a partir da equação de cima:
a4 = 12 - a12
a12 = 12 - a4
• Utilizando a fórmula do termo geral:
an = ak + (n-k)R
a12 = a4 + (12-4)R
a12 = a4 + 8R
Como a4 = 12 - a12, podemos substituir a4 por >12 - a12< na equação:
a12 = a4 + 8R
a12 = ( 12 - a12 ) + 8R
a12 = 12 - a12 + 8R
a12 + a12 = 12 + 8R
2a12 = 12 + 8R
a12 = (12 + 8R) / 2
a12 = 6 + 4R
Podemos achar uma nova equação para a12 utilizando a8 ao invés de a4:
an = ak + (n-k)R
a12 = a8 + (12-8)R
a12 = a8 + 4R
Repare que se a gente comparar as duas equações que temos de a12, a gente acha a8:
a12 = 6 + 4R
a12 = a8 + 4R
a8 = 6
O oitavo termo da PA, então, é 6.
b) S15 = ?
Sn = [ (a1 + an) . n ] / 2
S15 = [ (a1 + a15) . 15 ] / 2
mas quem é a1? e quem é a15? A gente só conhece a8...
an = ak + (n-k)R
a1 = a8 + (1-8)R
a1 = a8 - 7R
a1 = 6 - 7R
a15 = a8 + (15-8)R
a15 = a8 + 7R
a15 = 6 + 7R
Substituindo a1 e a15 na fórmula de Sn:
Sn = [ (a1 + an) . n ] / 2
S15 = [ (a1 + a15) . 15 ] / 2
S15 = { [(6 - 7R) + (6 + 7R)] . 15 } / 2
S15 = { [6 - 7R + 6 + 7R] . 15} / 2
S15 = { [6 + 6 - 7R + 7R] . 15} / 2
S15 = { [ 12 + 0 ] . 15 } / 2
S15 = { 12 . 15 } / 2
S15 = 180 / 2
S15 = 90
A soma dos 15 primeiros termos da PA, então, é 90.
Espero ter ajudado! Qualquer dúvida deixe aqui nos comentários.