Matemática, perguntado por gabbrieladsg, 11 meses atrás

Em uma progressão aritmética o 1° termo de 25 e a razão é 11. Calcule o 15° termo

Soluções para a tarefa

Respondido por kjmaneiro

Explicação passo-a-passo:

$a_n=a_{15}=?\\ a_1=25\\ n=15\\ r=11\\ \\ a_n=a_1+(n-1)r\\ \\ a_{15}=25+(15-1)(11)\\ \\ a_{15}=25+(14)(11)\\ \\ a_{15}=25+154\\ \\\fbox{$ a_{15}=179$}$

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Do enunciado, tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 25

b)décimo quinto termo (a₁₅): ?

c)número de termos (n): 15 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 15ª), equivalente ao número de termos.)

d)razão (r) ou valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato: 11

e)Embora não se saiba o valor do décimo quinto termo, apenas pela observação do primeiro termo e da razão da progressão fornecida, pode-se afirmar que ele será positivo, pois, pensando-se na reta numérica, tem-se um distanciamento à direita em relação ao zero, origem e, para que isto aconteça na progressão fornecida, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer.

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(II)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o décimo quinto termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₅ = 25 + (15 - 1) . (11) ⇒

a₁₅ = 25 + (14) . (11) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₅ = 25 + 154 ⇒

a₁₅ = 179

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O 15º termo da P.A. é 179.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₅ = 179 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo quinto termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

179 = a₁ + (15 - 1) . (11) ⇒

179 = a₁ + (14) . (11) ⇒

179 = a₁ + 154 ⇒ (Passa-se 154 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

179 - 154 = a₁ ⇒

25 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 25 (Provado que a₁₅ = 179.)

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