Question

Em uma progressão aritmética de termos

positivos, os três primeiros termos são 1-a, -a,

√11-a

. O

quarto termo desta P.A. é:


a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

Answer 1

1-a,-a,√11-a

sendo p.a
-a-(1-a)=√11-a-(-a)
-a-1+a=√11-a+a
-1=√11-a+a
(-1-a)²=(√11-a)²
11-a=(-a)²+2.(-a).(-1)+(-1)²
(-a)²+2.(-a).(-1)+(-1)²=11-a
a²+2a+1=11-a
a²+2a+a+1-11=0
a²+3a-10=0

∆=b²-4.a.c
∆=9-4.1.(-10)
∆=9+40
∆=49
√∆=7

a1/2=-b+-√∆/2.a
a1=-3+7/2=4/2=2
a2=-3-7/2=-10/2=-5

voltemos para a sequência...
1-a,-a,√11-a
para a=2
temos:

1-2;-2;√11-2
-1;-2;√9
-1;-2;3

-2+1=-1
3-2=1 (não é p.a)

para a=-5
6;5;3

5-6=-1
3-5=-2 (não é p.a)

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Mellui, que a resolução é mais ou menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para informar qual é o 4º termo da PA que tem a conformação a seguir, sabendo-se que todos os seus quatro primeiros termos são positivos:

(1-a;  -a;  √(11-a); ...)

ii) Bem, se a sequência acima é de uma PA, então veja que a razão de uma PA é sempre constante e é encontrada pela subtração de cada termo antecedente do seu respectivo consequente.
Então, se a sequência acima é de uma PA, então deveremos ter que:

√(11-a) - (-a) = -a - (1-a) ----- desenvolvendo, teremos:
√(11-a) + a = -a - 1 + a ---- reduzindo os termos semelhantes no 2º membro, ficaremos com:

√(11-a) + a = - 1 ----- passando "a" do primeiro para o segundo membro, ficaremos assim:

√(11-a) = -1 - a ---- para facilitar a operacionalização, vamos multiplicar ambos os membros por "-1", com o que ficaremos assim:

-√(11-a) = 1 + a ---- ou, o que é a mesma coisa:
-√(11-a) = a + 1 ---- Para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, com o que ficaremos assim:

[-√(11-a)]² = (a+1)² ----- desenvolvendo o quadrado nos dois membros, iremos ficar da seguinte forma:

11 - a = a² + 2a + 1 ----- passando todo o 1º membro para o 2º, iremos ficar com:

0 = a² + 2a + 1 - 11 + a ----- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
0 = a² + 3a - 10 ---- ou invertendo-se, o que é a mesma coisa:
a² + 3a - 10 = 0 ----- vamos aplicar a fórmula de Bháskara para encontrar as raízes:

a = [-b ± √(Δ)]/2a ---- sendo Δ = b²-4ac. Assim, substituindo-se, teremos:
a = [-b ± √(b²-4ac)]/2a

Veja que os coeficientes da equação [a²+3a-10 = 0] da sua questão são estes:

a = 1 ------ (é o coeficiente de a²)
b = 3 ------ (é o coeficiente de a)
c = -10 --- (é o coeficiente do termo independente).

Assim, fazendo as devidas  substituições na fórmula de Bhaskara, teremos:

a = [-3 ± √(3²-4*1*(-10))]/2*1
a = [-3 ± √(9+40)]/2
a = [-3 ± √(49)]/2 ---- como √(49) = 7, teremos:
a = [-3 ± 7]/2 ---- daqui você já poderá concluir que:

a' = (-3-7)/2 = (-10)/2 = -10/2 = - 5 <--- Esta é a primeira raiz
a'' = (-3+7)/2 = (4)/2 = 4/2 = 2 <--- Esta é a segunda raiz.

Logo, como você viu, "a" poderá ser igual a "-5" ou igual a "2".

iii) Agora vamos considerar esses dois valores de "a" e depois vamos dizer qual será o 4º termo:

iii.1) Para = -5, teremos:

(1-a; -a; √(11-a)...) = (1-(-5); -(-5); √(11-(-5)...) = (1+5; 5; √(11+5)...) =
= (6; 5; √(16)...) ------------ como √(16) = 4, então a sequência ficará sendo:
= (6; 5; 4;...) <--- Note que será uma PA, com todos os seus termos positivos e de razão "-1", pois: 4-5 = 5-6 = -1).

iii.2) Para a = 2, teremos:

(1-a; -a; √(11-a)...) = (1-2; -2; √(11-2)...) = (-1; -2; √(9)...) ---- como √(9) = 3,iríamos ter:

= (-1; -2; 3; ....)  <--- Veja que, para a = 2, não teremos uma PA, pois não iríamos ter uma razão constante para os três termos da PA. Veja:

3 - (-2) = 3+2 = 5
e
-2 - (-1) = -2+1 = -1

Olha aí, como não teríamos uma razão constante. Logo, para a = 2 não teremos uma PA.

iv) Assim, o o valor de "a" será igual a "-5", o que nos dá a sequência que vimos quando a = -5, que foi esta:

(6; 5; 4; ....) <--- Veja que a razão será igual a "-1", pois já vimos isso antes.

Assim, o 4º termo será:

4+(-1) = 4-1 = 3 <--- Esta é a resposta. Opção "b".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.