Question

Em uma progressão aritmética crescente de 8 termos, a soma dos termos é 140, e a diferença entre os termos é 21. Assim, é correto afirmar que o produto do primeiro termo pela razão da progressão é igual a
A) 35
B) 30
C) 21
D) 28
E) 12

Answer 1

Vou supor que a diferença é:
an-a1=21
an=21+a1......(1)

Sn=[(a1+an):2]n
140=[(a1+21+a1):2]8
140=[2a1+21]4
35=2a1+21
35-21=2a1
14=2a1
a1=14/2
a1=7

Em.....(1) ,temos:
an=21+7
an=28

Logo:
an=a1+(n-1)r
28=7+(8-1)r
28=7+7r
28-7=7r
21=7r
r=21/7
r=3

A progressão é: 7 ; 10 ;13 ;16 ;19 ;22 ; 25 ; 28

Resposta: a razão é: 3

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Helen, embora você não haja colocado a informação que pedimos nos comentários acima, vamos considerar que a diferença de "21" seja entre o último termo (8º termo, pois a PA tem 8 termos) e o primeiro termo.
Se for isso, então vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Primeiro veja que o 8º termo (a₈) será dado pela fórmula do termo geral de uma PA, que é esta:

an = a₁ + (n-1)*r ----- como queremos o 8º termo, então substituiremos "n" por "8" . Assim, fazendo isso, teremos:

a₈ = a₁ + (8-1)*r
a₈ = a₁ + (7)*r ---ou apenas:
a₈ = a₁ + 7r      . (I) ---- Esta é a fórmula que permite calcular o 8º termo (a₈).

ii) Como estamos considerando que a diferença de "21" seja entre o 8º termo (a₈) e o primeiro termo (a₁), então faremos isto:

a₈ - a₁ = 21 ---- como já vimos aí em cima, na expressão (I), que "a₈" é igual a "a₁ + 7r", então vamos substituir aqui nesta expressão. Assim, teremos:

a₁+7r - a₁ = 21 ----- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos apenas com:

7r = 21 --- isolando "r", teremos:
r = 21/7
r = 3 <--- Esta será a razão da PA da sua questão.

iii) Agora vamos para a fórmula da soma. Note que a soma dos "n" primeiros termos de uma PA é dada da seguinte forma:

Sn = (a₁ + an)*n/2

Na fórmula acima, substituiremos "Sn" por "140", pois já foi dado no enunciado da questão que a soma dos termos dos 8 termos da PA é igual a "140". Por sua vez, substituiremos "an" por "a₈", que já vimos qual é o seu valor em função de "r" e que é "a₁ + 7r". Assim, substituiremos "a₈" por "a₁+7r". E, finalmente, substituiremos "n" por "8", pois estamos encontrando a soma dos 8 primeiros termos da PA.
Logo, fazendo todas essas substituições, teremos;

140 = (a₁ + a₁+7r)*8/2 ----- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
140 = (2a₁ + 7r)*8/2 ---- como 8/2 = 4, teremos:
140 = (2a₁ + 7r)*4 ---- se dividirmos ambos os membros por "4", iremos ficar apenas com:

35 = 2a₁ + 7r ----- mas como já vimos antes que r = 3, então vamos substituir, com o que ficaremos assim:

35 = 2a₁ + 7*3
35 = 2a₁ + 21 ---- passando "21" para o 1º membro, teremos:
35 - 21 = 2a₁
14 = 2a₁ ----- ou, o que é a mesma coisa:
2a₁ = 14 --- isolando "a₁", teremos:
a₁ = 14/2
a₁ = 7 <--- Este será o valor do primeiro termo (a₁).

iv) Finalmente, agora vamos ao que a questão está pedindo, que é o valor do produto do primeiro termo pela razão.
Como já vimos que a razão é igual a "3" (r = 3) e que o primeiro termo acabamos de ver aí em cima, que é igual a "7" (a₁ = 7), então o produto pedido será:

a₁ * r = 7*3
a₁ * r = 21 <--- Esta é a resposta. Opção "c". Mas veja que a resposta só será esta se estiver correto o que consideramos, ou seja, que a diferença de "21" seja entre o último termo (que é o oitavo termo) e o primeiro termo.
Se não for isso, então a resposta poderá ser outra, o que cabe a você ver isso e nos dizer imediatamente pra que tenhamos tempo para editar a resposta, ok?

A prevalecer que o primeiro termo seja igual a "7" e que a razão seja igual a "3", então poderemos, apenas por mera curiosidade, escrever a PA com os seus 8 termos, bastando, para isso, irmos somando a razão (r = 3) a partir do primeiro termo (a₁ = 7). Assim, a PA, com os seus 8 termos seria esta:

(7; 10; 13; 16; 19; 22; 25; 28) , cuja soma dá 140.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.