Question

Em uma produção são escolhidas, ao acaso, 15 peças. Sabemos que a probabilidade de encontrarmos uma peça com defeito é de 9%. Com base nesta situação, utilizando uma distribuição binomial, analise cada uma das afirmações (pode haver mais de uma alternativa correta): *
a)A probabilidade de encontrarmos no máximo 6 peças com defeito é de 54,13%
b)A probabilidade de encontrarmos no mínimo 4 peças com defeito é de 76,19%
c)A probabilidade de encontrarmos no máximo 3 peças com defeito é de 96,01%
d)A probabilidade de encontrarmos exatamente 3 peças com defeito é de 10,7%
e)A probabilidade de encontrarmos exatamente 1 peça com defeito é de 36,05%
f)A probabilidade de encontrarmos no mínimo 6 peças com defeito é de 2,19%
g)A probabilidade de encontrarmos no mínimo 5 peças com defeito é de 0,82%

Answer 1

A alternativas corretas são C, D e E.

A distribuição binomial é calculada pela expressão:

P(X = x) = nCx * pˣ * qⁿ⁻ˣ

onde nCx é a combinação entre n e x, p é a probabilidade de se encontrar uma peça defeituosa e q = 1 - p.

a) A probabilidade e encontrar no máximo 6 peças é a somatória das probabilidades de se encontrar zero, uma, duas, três peças e assim por diante. Logo:

P(X ≤ 6) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)

Calculando:

P(X = 0) = 15C0 * 0.09⁰ * 0,91¹⁵ = 0,2430

P(X = 1) = 15C1 * 0.09¹ * 0,91¹⁴ = 0,3605

P(X = 2) = 15C2 * 0.09² * 0,91¹³ = 0,2496

P(X = 3) = 15C3 * 0.09³ * 0,91¹² = 0,1069

P(X = 4) = 15C4 * 0.09⁴ * 0,91¹¹ = 0,0317

P(X = 5) = 15C5 * 0.09⁵ * 0,91¹⁰ = 0,0069

P(X = 6) = 15C6 * 0.09⁶ * 0,91⁹ = 0,0011

Somando, encontramos P(X ≤ 6) = 0,9997 = 99,97%

b) Para o mínimo de 4 peças, faremos P(X ≥ 4) = 1 - P(X = 4) - P(X = 3) - P(X = 2) - P(X = 1) - P(X = 0), como já calculamos estes valores antes, temos que P(X ≥ 4) = 0,0083 = 0,83%.

c) Para o máximo de 3 peças, faremos P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3), ou seja, P(X ≤ 3) = 0,96 = 96%.

d) Para exatamente 3 peças, temos P(X = 1) = 0,1069 = 10,69%.

e) Para exatamente 1 peça, temos P(X = 3) = 0,3605 = 36,05%.

f) Para o mínimo de 6 peças, faremos P(X ≥ 6) = 1 - P(X = 6) - P(X = 5) - P(X = 4) - P(X = 3) - P(X = 2) - P(X = 1) - P(X = 0), ou seja, P(X ≥ 6) = 0,0003 = 0,03%.

g) Para o mínimo de 5 peças, faremos P(X ≥ 5) = 1 - P(X = 5) - P(X = 4) - P(X = 3) - P(X = 2) - P(X = 1) - P(X = 0), ou seja, P(X ≥ 5) = 0,0014 = 0,14%.