Question

Em uma prensa hidráulica, após aplicar um força F1 no êmbolo menor, verificou-se que o nível de óleo no êmbolo maior subiu 30 cm e o do êmbolo menor desceu 1,2 m. Sabe-se que a área do êmbolo maior é de 80 cm2. Determinar o diâmetro do êmbolo menor.

Answer 1

Boa noite!

Para resolver essa questão, basta observarmos que, antes da aplicação da força no êmbolo menor, existia um certo volume de óleo abaixo deste. Quando a força é aplicada, parte desse óleo se desloca para o outro êmbolo, fazendo com que este suba. É evidente que o volume de óleo que sai de baixo do êmbolo menor é igual ao volume de que chega no êmbolo maior. Com isso, podemos escrever:

$V_1=V_2$

onde

$V_1$ é o volume de líquido que sai do êmbolo menor
$V_2$ é o volume de líquido que chega no êmbolo maior

Em termos das áreas dos êmbolos (A) e das alturas (h) que estes se deslocaram, podemos escrever:

$A_1\cdot{h_1}=A_2\cdot{h_2}$

Ainda, como os êmbolos são circulares, podemos escrever a área do êmbolo menor (1) em termos de seu raio:

$A_1\cdot{h_1}=A_2\cdot{h_2}$
$\pi\cdot{r_1}^2\cdot{h_1}=A_2\cdot{h_2}$

Podemos isolar o raio do êmbolo menor na equação acima:

$\pi\cdot{r_1}^2\cdot{h_1}=A_2\cdot{h_2}$
$r_1^2=\frac{A_2\cdot{h_2}}{\pi\cdot{h_1}}$
$r_1=\sqrt{\frac{A_2\cdot{h_2}}{\pi\cdot{h_1}}}$

Sabemos que o êmbolo menor se deslocou 1,20 m e o êmbolo maior se deslocou 30 cm. Também temos que a área do êmbolo maior é 80 cm². Ou seja:

$h_1=30\,cm=0,3\,m$
$h_2=1,2\,m$
$A_2=80\,cm^2=0,008\,m^2$

Utilizando esses dados na equação acima obtemos:

$r_1=\sqrt{\frac{A_2\cdot{h_2}}{\pi\cdot{h_1}}}$
$r_1=\sqrt{\frac{0,008\cdot{1,2}}{\pi\cdot{0,3}}}$
$r_1=\sqrt{0,0102}$
$r_1=0,1\,m$
$r_1=10\,cm$

Assim, encontramos que o raio do êmbolo menor mede 10 cm. Portanto, seu diâmetro é de 20 cm.

Espero ter ajudado! Bons estudos!