Question

Em uma população, o número de homens é igual ao de mulheres. 5% dos homens são daltônicos e 0,25% das mulheres são daltônicas. Uma pessoa é selecionada ao acaso e verifica-se que é daltônica. Qual a probabilidade de que ela seja mulher ?

Answer 1

Consideremos o conjunto $\Omega$ como sendo o nosso espaço amostral, isto é, o conjunto de todos os homens e mulheres do contexto desta questão.


O número de elementos de $\Omega$ é

$\#(\Omega)=x$


Supondo que $\Omega$ não seja um conjunto vazio, temos que

$x \neq 0.$


$\bullet\;\;$ Sejam $M$ e $F$ dois subconjuntos do espaço amostral $\Omega,$ definidos da seguinte forma:

$M=\{\omega \in \Omega\left|\,\omega\text{ \'{e} homem}\right.\}\\ \\ F=\{\omega \in \Omega\left|\,\omega\text{ \'{e} mulher}\right.\}$


Como o número de homens é igual ao número de mulheres, temos que

$\#(M)=\#(F)=\dfrac{x}{2}.$


Por causa disso, decorre também que, se escolhermos ao acaso algum indivíduo do espaço amostral, a probabilidade de que este indivíduo seja homem é igual à probabilidade de o indivíduo ser mulher:

$p(M)=p(F)=50\%$


$\bullet\;\;$ Além disso, consideremos também o seguinte evento:

$D=\{\omega \in \Omega\left|\;\omega\text{ \'{e} dalt\^{o}nico(a)}\right.\}$

ou seja, $D$ é o conjunto de todos os indivíduos daltônicos, sejam eles homens ou mulheres.


$\bullet\;\;$ Dados do enunciado:

Se $5\%$ dos homens são daltônicos e $0,25\%$ das mulheres são daltônicas, então o número total de indivíduos daltônicos é

$\#(D)=5\% \cdot \dfrac{x}{2}+0,25\% \cdot \dfrac{x}{2}\\ \\ \\ \#(D)=(5\%+0,25\%) \cdot \dfrac{x}{2}\\ \\ \\ \#(D)=5,25\% \cdot \dfrac{x}{2}$


Sendo assim, a probabilidade de selecionarmos um indivíduo, e este ser daltônico é

$p(D)=\dfrac{\#(D)}{\#(\Omega)}\\ \\ \\ p(D)=\dfrac{5,25\%\cdot \frac{\diagup\!\!\!\! x}{2}}{\diagup\!\!\!\! x}\\ \\ \\ p(D)=\dfrac{5,25\%}{2}=2,625\%$


$\bullet\;\;$ A questão pede para calcular a probabilidade de que a pessoa selecionada uma mulher, dado que a pessoa escolhida é daltônica:

$p(M|D)$


$\bullet\;\;$ Sabemos que

$\boxed{\begin{array}{c}p(D\cap M)=p(D)\cdot p(M|D) \end{array}}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


Calculando $p(D\cap M):$

$p(D\cap M)=\dfrac{\#(D\cap M)}{\#(\Omega)}\\ \\ \\ p(D\cap M)=\dfrac{0,25\%\cdot \frac{\diagup\!\!\!\! x}{2}}{\diagup\!\!\!\! x}\\ \\ \\ p(D\cap M)=0,25\%\cdot \dfrac{1}{2}=0,125\%$


Substituindo em $\mathbf{(i)}$ os valores conhecidos, temos

$0,125\%=2,625\%\cdot p(M|D)\\ \\ \\ p(M|D)=\dfrac{0,125\%}{2,625\%}\\ \\ \\ p(M|D)=\dfrac{1}{21}\approx 4,76\%$


A probabilidade de que a pessoa escolhida seja daltônica é de aproximadamente $4,76\%,$ dado que ela é mulher.

Answer 2

Na verdade a questão é bem mais fácil do que esse cara fez parecer:

a pessoa selecionada é daltônica, esse é nosso espaço amostral (as pessoas daltônicas)

a probabilidade (P(A)) da pessoa selecionada ser mulher(evento A={mulheres daltonicas)

então P(A)=n(A)/n(Ω)

= x(0,00025)/x(0,0525) =    r:1/21