Question

Em uma pirâmide triangular regular, a aresta lateral mede √13 cm e o raio da base, 2√3 cm. Obtenha a área total e o volume dessa pirâmide.

Answer 1

L→ aresta lateral

r→raio da base

a→aresta da base

m→apótema da base

ap→ apótema da pirâmide

h→altura da pirâmide.

Al→área lateral

Ab→área da base

At→área total.

V→volume.

$a = r \sqrt{3} \\ a = 2 \sqrt{3}. \sqrt{3} = 2.3 = 6 \: cm$

${L}^{2} = {ap}^{2} + {( \frac{a}{2} )}^{2} \\ { (\sqrt{13}) }^{2} = {ap}^{2} + {( \frac{6}{2} )}^{2} \\ 13 = {ap}^{2} + {3}^{2}$

${ap}^{2} + 9 = 13 \\ {ap}^{2} = 13 - 9 \\ {ap}^{2} = 4 \\ ap = \sqrt{4} \\ ap = 2cm$

$Al = 3. \frac{6.2}{2} = 18 \: {cm}^{2}$

$Ab = \frac{ {6}^{2} \sqrt{3}}{4} \\ Ab = 9 \sqrt{3} \: {cm}^{2}$

$At = Al + Ab \\ At = 18 + 9 \sqrt{3} = 9(2 + \sqrt{3}) \: {cm}^{2}$

$m = \frac{r}{2} = \frac{2 \sqrt{3} }{2} = \sqrt{3} \: cm$

${ap}^{2} = {h}^{2} + {m}^{2} \\ 4 = {h}^{2} + { (\sqrt{3}) }^{2} \\ {h}^{2} = 4 - 3 \\ {h}^{2} = 1 \\ h = \sqrt{1} = 1$

$V= \frac{1}{3} .Ab. h \\ V= \frac{1}{3} .9 \sqrt{3} .1 = 3 \sqrt{3} \: {cm}^{3}$