Question

Em uma pirâmide triangular, as faces laterais, cujas áreas têm medidas iguais a 5 cm², 5 cm² e 8 cm², formam
com a base ângulos iguais. Se a área da base mede 9 cm², o volume da pirâmide, em cm³, é igual a:

Answer 1

O volume da pirâmide, em cm³, é igual a $3.\sqrt{\frac{55}{12} }$.

$\dotfill$

O volume de uma pirâmide qualquer é dado por um terço do produto da área da base pela altura. Como a área da base é dada, logo precisamos da altura.

$V=\frac{(A_{base}\cdot H)}{3}$

Uma vez que duas das faces laterais tem mesma área, logo são iguais, pois tem mesma altura. Isso também nos mostra que a base é um triângulo isósceles.

Seja H a altura da pirâmide, h₁ a altura da face lateral de área igual a 5 cm² e h₂ a altura da face lateral de área igual a 8 cm². Seja também α o ângulo entre cada face lateral e a base. Aplicando trigonometria nos triângulos retângulos das faces laterais:

sen α = H/h₁ = H/h₂ ⇔ h₁ = h₂.

Se b₁ é a base do triângulo de área igual a 5 cm² e b₂ a altura da face lateral de área igual a 8 cm², temos:

(h₁ × b₁)/2 = 5   ⇒ h₁ = 10 / b₁

(h₂× b₂)/2 = 8   ⇒ h₂ = 16 / b₂

Como h₁ = h₂,

10 / b₁ = 16 / b₂  ⇒ b₁/b₂ = 5/8

Voltando agora a atenção para a base da pirâmide, esta vai ter lado maior 8k e lados menores 5k. Traçando a altura em relação ao lado maior e aplicando Pitágoras, a altura da base vale 3k (Triângulo Pitagórico).

Logo, como a área da base é 9 cm²:

(8k × 3k)/2 = 9  ⇒ k = √3/2

Deste modo, b₁ = 5√3/2, b₂ = 4√3, h₁ = h₂ = 4√3/3.

Usando agora que a projeção do vértice da pirâmide sobre a base coincide com o incentro do triângulo da base (isso ocorre, pois o ângulo entre cada face lateral e a base é o mesmo), temos:

x = 1/3 × 3k = 1/3 × 3√3/2 = √3/2   (ver figura)

Aplicando o Teorema de Pitágoras (triângulo em verde):

H² = (4√3/3)² - (√3/2)²

H² = 48/9 - 3/4

H² = 55/12

H = √(55/12)

Substituindo, por fim, na fórmula do volume:

$V=\frac{(A_{base}\cdot H)}{3} = 3.\sqrt{\frac{55}{12} }$ cm³

Braba essa em!! Até mais!!