Question

Em uma pirâmide retangular, cada aresta lateral mede 13 cm e cada aresta da base, 10 cm. Calcular:
a) A área lateral;
b) A área da base;
c) A área total.

Answer 1

Antes de tudo, vamos encontrar a altura da pirâmide. Para isso, vamos recordar que metade da diagonal da base, a aresta lateral e a altura formam um triângulo retângulo, onde a aresta lateral é a hipotenusa.

A diagonal da base é calculada por:

$d=a\sqrt{2}\\ \\ \boxed{d=10\sqrt{2}~cm}$

Assim, aplicando na relação:

$13^2 = h^2+(5\sqrt{2})^2\\ \\ 169 = h^2+50\\ \\ h^2=169-50\\ \\ h^2=119\\ \\ \boxed{h=\sqrt{119}~cm}$

Encontrada a altura, vamos encontrar o apótema da pirâmide, que no caso seria a hipotenusa de um triângulo retângulo, onde metade da aresta da base com a altura seriam os catetos.

$H^2 =(\sqrt{119})^2+5^2\\ \\ H^2=119+25\\ \\ H^2=144\\ \\ H=\sqrt{144}\\ \\ \boxed{H=12~cm}$

Pronto, com isso podemos calcular tudo o que pede.

a) Área lateral: soma de 4 áreas da face, composta por um triângulo de base 10 cm e altura 12 cm.

$A_l = 4A_f\\ \\ A_l = 4(\frac{10\cdot12}{2})\\ \\ A_l = 2\cdot10\cdot12\\ \\ \boxed{A_l = 240~cm^2}$

b) Área da base: é a área de um quadrado de lado 10 cm.

$A_b = a^2\\ \\ A_b= 10^2\\ \\ \boxed{A_b=100~cm^2}$

c) Área total: é a soma da área lateral com a área da base.

$A_t = A_b+A_l\\ \\ A_t = 240+100\\ \\ \boxed{A_t=340~cm^2}$