Question

Em uma PG temos a7=128 e a4=16. Determine a razão dessa PG?

Answer 1

Fórmula: an = a1.q^(n-1)


an = a7 = 128
a1 = a4 = 16
n = a4 ao a7 são 4 termos logo ( n = 4)
q = ??


128 = 16.q^(4-1)
128/16 = q³
8 = q³
2³ = q³
2 = q


Razão 2.

Answer 2

Olá

Podemos encontrar o valor da razão por um sistema

Primeiro, saibamos o a fórmula do termo geral

$\boxed{\mathbf{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}}$

Substituamos o valor de $\mathbf{n}$ para ambos os casos, sabendo que este representa a posição do termo na sequência

$\mathbf{a_4=a_1\cdot q^{4-1}~~~~~~ a_7=a_1\cdot q^{7-1}}$

Simplifique os expoentes

$\mathbf{a_4=a_1\cdot q^{3}~~~~~~a_7=a_1\cdot q^{6}}$

Agora, substitua o valor dos termos $\mathbf{a_4}$ e $\mathbf{a_7}$

$\mathbf{16=a_1\cdot q^{3}~~~~~~ 128=a_1\cdot q^{6}}$

Isolemos o termo $\mathbf{a_1}$ em ambos os casos

$\mathbf{a_1=\dfrac{16}{q^{3}}~~~~~~a_1=\dfrac{128}{q^{6}}}$

Sabendo que o termo $\mathbf{a_1}$ Tem dois valores, significa que estes são iguais

Iguale-os

$\mathbf{\dfrac{16}{q^{3}}=\dfrac{128}{q^{6}}}$

Substitua a potência $\mathbf{q^{3}}$ por uma incógnita, para simplificar o cálculo

Neste caso, substituiremos por y

$\mathbf{16}{y}=\dfrac{128}{y^{2}}$

Agora, encontre o denominador comum

Neste caso, como temos denominadores de bases iguais, o que apresenta o maior expoente será denominador comum

Então, divida pelo denominador que ali estava e multiplique o resultado pelo numerador

$\mathbf{\dfrac{16\cdot y}{y^{2}}=\dfrac{128}{y^{2}}}$

Cancele os denominadores

$\mathbf{16y=128}$

Divida ambos os termos pelo valor do coeficiente

$\mathbf{\dfrac{16y}{16}=\dfrac{128}{16}}$

Simplifique as divisões

$\mathbf{y=8}$

Agora, substitua o valor dessa incógnita no início, onde o usamos como incógnita para simplificar

Lembrando que
$\boxed{\mathbf{y=q^{3}}}$

$\mathbf{8=q^{3}}$

Mova o expoente como índice da raiz do outro termo

$\mathbf{q=\sqrt[3]{8}}$

Simplifique a raiz cúbica

$\mathbf{q=2}~~\checkmark$

A razão desta P.G é 2