Question

Em uma PG estritamente crescente, o terceiro termo é 98 e o quinto termo é 4802. Se x é a soma dos dois primeiros termos dessa PG, então o valor de 8 log x é:

a)3/4


b)1/2


c)2/3


d)1/4


e)4/3

Answer 1

Bom dia! Segue a resposta com algumas explicações, para facilitar o entendimento.

OBSERVAÇÃO: Em pesquisa feita após dificuldades em chegar ao resultado, constatei que o enunciado trouxe erroneamente que se deveria calcular 8 ㏒ x, quando deveria constar que se deveria calcular ㏒₈ x.

(I)Interpretação do problema:

PG estritamente crescente: razão (q) > 0

a)a₃ = 98

b)a₅ = 4802

c)número de termos (n) será 5, correspondente ao maior termo conhecido da PG.

(II)Cálculo da razão por meio da fórmula estendida do termo geral:

an = a₁ . qⁿ⁻¹ (Fórmula aplicada quando se conhecem o primeiro termo e a razão.)

an = am . qⁿ⁻ˣ (Expressão usada quando se conhece um termo qualquer e a razão. Embora não se conheça a razão, as demais incógnitas são conhecidas, motivo pelo qual esta fórmula será usada.)

an = ax . qⁿ⁻ˣ => a₅ = a₃ . q⁵⁻³ => 4802 = 98 . q² =>

q²  = 4802/98 = 49 =>

q = √49 => q = 7

(III)Sabendo que q = 7, basta aplicá-la na fórmula do termo geral para determinar o primeiro termo (a₁):

an = a₁ . qⁿ⁻¹  => a₅ = a₁ . 7⁵⁻¹ =>

4802 = a₁ . 7⁴ => 4802 = a₁ . 2401 =>

a₁ = 4802/2401 => a₁ = 2

(IV)Formando a PG com as informações fornecidas e obtidas e calculando a₂:

PG (a₁, a₂, a₃, a₄,      a₅)

PG (2, ..., 98, a₄, 4802)  

a₂ = 2 . 7¹ = 14

(V)Do enunciado, tem-se que:

x = a₁ + a₂ = 2 + 14 => x = 16

(VI)Então, obtém-se o valor de ㏒₈ x:

㏒₈ x => ㏒₈ 16 = ㏒₈ 16 (Note que o logaritmando 16 equivale a 2⁴.) =>

㏒₈ 16 = ㏒₈ 2⁴ (Note que a base 8 pode ser escrita como 2³.) =>

㏒₂³ (2⁴) (Aplica-se a propriedade do logaritmo da potência, que diz que o expoente passará a multiplicar o resultado.) =>

4 ㏒₂³ 2 (Novamente aplica-se a propriedade do logaritmo de uma potência, entretanto, em razão de o expoente encontrar-se na base, será o seu inverso (1/3) que multiplicará o resultado do logaritmo, junto ao 4.) =>

4 . 1/3 ㏒₂ 2 (Quando base e logaritmando forem iguais o resultado será 1, pois 2¹ = 2) =>

4/3 . 1 = 4/3

Resposta: O valor de ㏒₈ x é 4/3. (Alternativa E.)

Espero haver lhe ajudado e bons estudos!