Question

Em uma PG de 4 termos, a soma dos dois primeiros é 48 e a soma dos dois últimos é 432. Determine essa sequência de números

Urgente !!

Answer 1

Resposta:

72

Explicação passo a passo:

$(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})$ → $(a_{1},a_{1}.q,a_{1} .q^{2},a_{1} .q^{3})$

$\left \{ {{a_{1}+ a_{1}.q=48} \atop {a_{1}.q^{2}+ a_{1}.q^{3}=432}} \right.$

$\left \{ {{a_{1}.(1+q)=48} \atop {a_{1}.q^{2}.(1+q)=432}} \right.$  

(Dividindo a 2° equação pela 1°)

$q^{2} = 9\\q=\sqrt{9}$

$q=$ ± $3$

Como a soma dos dois primeiros termos é menor que a soma dos dois últimos termos, temos uma PG crescente. Então q = + 3 .

$a_{1}+a_{1}.q=48$

$a_{1}+ a_{1}.3=48$

$4a_{1}=48$

$a_{1}=12$

$a_{2}=a_{1}.q=12. 3= 36\\\\a_{3}=a_{1}.q^{2} =12. 3^{2} = 108\\\\a_{4}=a_{1}.q^{3} =12. 3^{3} = 324$

Então:

$a_{4}-a_{3} = 108-36=72$

Answer 2

Os termos dessa PG são: 12, 36, 108, 324.

Uma progressão geométrica tem o termo geral é dado por:

aₓ = a₁ . q⁽ˣ⁻¹⁾

onde a₁ é o primeiro termo, q é a razão e x é a posição do termo na sequência.

Nesse caso, temos para cada um dos termos da PG:

• 1º termo: a₁
• 2º termo: a₂ = a₁ . q⁽²⁻¹⁾ ⇒ a₂ =  a₁ . q
• 3º termo: a₃ = a₁ . q⁽³⁻¹⁾ ⇒ a₃ =  a₁ . q²
• 4º termo: a₄ = a₁ . q⁽⁴⁻¹⁾ ⇒ a₄ =  a₁ . q³

Assim, temos que a soma dos dois primeiros termos é:

a₁ + a₁ . q = 48

a₁ . (1 + q) = 48

a₁ = 48 / (1 + q)

E a soma dos dois últimos termos é:

a₁ . q² + a₁ . q³ = 432

a₁ . q² . (1 + q) = 432

Substituindo a primeira equação na segunda, temos que:

48 / (1 + q) . q² . (1 + q) = 432

48q² = 432

q = √9

q = 3 ∴ a₁ = 12

Para saber mais:

https://brainly.com.br/tarefa/19017149

Espero ter ajudado!