Question

Em uma PG crescente o 3° termo vale -80, e o sétimo termo -5. Qual é o 1° termo OBS: eu preciso da conta e da ordem da PG, ou fassa pelo menos um dos dois

Answer 1

Uma progressão geométrica é da forma:

$(a_1; a_1 R; a_1 R^2 ; a_1 R^3... )$

Ou seja, o 1° termo é $a_1$, o 2° termo é $a_1 R$, o 3° é $a_1 R^2$, então o n-ésimo termo será: $a_n = a_1 R^{(n-1)}$

O terceiro termo vale -80:

$-80 = a_3 = a_1 R^{(3-1)} \\ -80 = a_1 R^2\\ a_1 = \frac{-80}{R^2}$

O sétimo termo vale -5:

$-5 = a_7 = a_1 R^{(7 - 1)} \\ -5 = a_1 R^6 \\ a_1 = \frac{-5}{R^6}$

Igualando o $a_1$ da primeira expressão com o da segunda:

$\frac{-80}{R^2} = \frac{-5}{R^6} \\ \frac{R^6}{R^2} = \frac{-5}{-80} \\ R^4 = \frac{1}{16} \\ R = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \pm \frac{1}{2}$

Ou seja, dois valores são possíveis para a razão da P.G.: $\frac{1}{2}$ e $-\frac{1}{2}$. Mas como o enunciado diz que a P.G. é crescente usaremos apenas o valor positivo da razão.

O primeiro termo será:

$a_1 = \frac{-80}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{-80}{\frac{1}{4}} = -80 \cdot 4 = -320$

Então a P.G. será: (-320,-160,-80,-40,-20,-10,-5,-2.5,...)