Question

Em uma PG a2 + a6 = -246 e a3 + a7= 82. Determine a razão e o 1º termo dessa PG.

Answer 1

Olá.

Dada a PG:

$a2+a6=-246\\ a3+a7=82$

Os termos podem ser entendidos sendo:

$a2=a1*q\\ a6=a1*q^{ 5 }\\ a3=a1*q^{ 2 }\\ a7=a1*q^{ 6 }$

Substituindo teremos:

$a1*q+a1*q^{ 5 }=-246\\ \\ a1*q^{ 2 }+a1*q^{ 6 }=82$

Agora vamos isolar o a1 em ambos:

$a1=-\frac { 246 }{ q(a1+q^{ 4 }) } \\ \\ a1=\frac { 82 }{ q^{ 2 }(1+q^{ 4 }) }$


Agora é só igualar:


$-\frac { 246 }{ q(a1+q^{ 4 }) } =\frac { 82 }{ q^{ 2 }(1+q^{ 4 }) }$

Simplificando:

$-246q=82\\ \\ \quad q=-\frac { 82 }{ 246 } \quad \therefore \quad q=-\frac { 1 }{ 3 }$


Agora vamos achar o a1:

$a1=\frac { 82 }{ q^{ 2 }(1+q^{ 4 }) } \\ \\ a1=\frac { 82 }{ (-\frac { 1 }{ 3 } )^{ 2 }(1+(-\frac { 1 }{ 3 } )^{ 4 }) } \\ \\ \\ a1=\frac { 82 }{ \frac { 1 }{ 9 } *(1+\frac { 1 }{ 81 } ) } \\ \\ a1=\frac { 82 }{ \frac { 1 }{ 9 } *\frac { 82 }{ 81 } } \\ \\ a1=\frac { 82 }{ \frac { 82 }{ 729 } } \quad \therefore \quad \frac { 82 }{ 1 } *\frac { 729 }{ 82 } \\ \\ \\ a1=729$