Question

Em uma PG a2 + a3 = 12 e a3 + a4 = 36 determine o primeiro termo e a razão dessa PG

Answer 1

Olá,

vamos expressar os termos desta P.A. de forma genérica:

$\begin{cases}\mathsf{a_2=a_1+r}\\ \mathsf{a_3=a_1+2r}\\ \mathsf{a_4=a_1+3r}\end{cases}$

Então fazemos:

$\begin{cases}\mathsf{(a_1+r)+(a_1+2r)=12~~(i)}\\ \mathsf{(a_1+2r)+(a_1+3r)=36~~(ii)}\end{cases}\\\\\\ \begin{cases}\mathsf{2a_1+3r=12~~(i)}\\ \mathsf{2a_1+5r=36~~(ii)}\end{cases}$

Multiplicando a equação i, por -1, e somando à equação ii:

$\begin{cases}\mathsf{-2a_1-3r=-12~~(i)}\\ ~~\mathsf{2a_1+5r=36~~(ii)}\end{cases}\\ ~~~~-------\\ ~~~~~~~\mathsf{0+2r=24}\\\\ ~~~~~~~~~~~~\mathsf{r= \dfrac{24}{2} }\\\\ ~~~~~~~~~~~~\huge\boxed{\mathsf{r=12}}$

Achada a razão, vamos agora achar o primeiro termo:

$\mathsf{2a_1+3r=12}\\ \mathsf{2a_1+3\cdot12=12}\\ \mathsf{2a_1+36=12}\\ \mathsf{2a_1=-24}\\\\ \mathsf{a_1= \dfrac{-24}{~~2} }\\\\ \huge\boxed{\mathsf{a_1=-12}}$

Taí! tenha ótimos estudos ;P