Question

em uma PG a soma do segundo termo com o terceiro e 18 e a soma do sexto termo com o sétimo e 288 qual a razão desta PG

Answer 1

Olá

Temos uma Progressão Geométrica cujo

$a_2+a_3=18\\\\\\ a_6 + a_7 = 288$

Sabendo que qualquer progressão geométrica funciona pela expressão
$\boxed{a_k=a_n\cdot q^{k-n}}$

Temos as seguintes somas

$a_2(1 + q) = 18\\\\\\ a_6\cdot (1 + q) = 288$

Divida os resultados das somas peloc fator comum em evidência de ambas

$1+q=\dfrac{18}{a_2}\\\\\\ 1 + q = \dfrac{288}{a_6}$

Mude a posição do termo independente, alterando seu sinal

$q = \dfrac{18-a_2}{a_2}\\\\\\ q =\dfrac{288-a_6}{a_6}$

Iguale os valores

$\dfrac{18-a_2}{a_2}=\dfrac{288-a_6}{a_6}$


Voltando a usar a identidade do princípio, simplifique um denominador

$\dfrac{18-a_2}{a_2}=\dfrac{288-(a_2\cdot q^4)}{(a_2\cdot q^4)}$

Então, cruze as frações

$(18-a_2)(a_2\cdot q^4)=(288-(a_2\cdot q^4))(a_2)$

Multiplique os valores

$18a_2q^4 - {a_2}^2q^4 = 288a_2 - {a_2}^2q^4$

Cancele os fatores iguais

$18a_2q^4 =288a_2$

Divida ambos os termos pelo fator que isola a razão q

$\dfrac{18a_2q^4}{18a_2}=\dfrac{288a_2}{18a_2}$

Simplifique a fração

$q^4 = 16$

Use a operação inversa a potenciação em ambos os fatores

$\sqrt[4]{q^4}=\sqrt[4]{16}$

Simplifique ambos os radicais

$\boxed{q=2}$

Esta é a razão desta progressão