Question

em uma PA de cinco termos, a soma dos dos primeiros termos é 4 e a dos doisnultimos é 22. Qual o valor donquinto termo da PA ?

Answer 1

Boa Noite,

a P.A. é:

$P.A.=(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$

Expressando os termos desta P.A. de forma genérica, temos que:

$\begin{cases}a_1\\ a_1+r=a_2\\ a_1+2r=a_3\\ a_1+3r=a_4\\ a_1+4r=a_5\end{cases}$

Montando um sistema de equações do 1° grau, nas incógnitas a1 e r, fazemos:

$\begin{cases}a_1+(a_1+r)=4~~(i)\\ (a_1+3r)+(a_1+4r)=22~~(ii)\end{cases}$

ainda, podemos reduzir os termos desse sistema, assim:

$\begin{cases}2a_1+r=4~~(i)\\ 2a_1+7r=22~~(ii)\end{cases}$

Vamos multiplicar a equação i por -1 e somarmos as duas parcelas de equações:

$+\begin{cases}-2a_1-r=-4~~(i)\\ ~~~2a_1+7r=22~~(ii)\end{cases}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~6r=18\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~r= \dfrac{18}{6}=3$

Descoberta a razão, podemos achar o primeiro termo:

$2a_1+r=22\\ 2a_1+3=4\\ 2a_1=1\\\\ a_1= \dfrac{1}{2}$

Agora achamos o quinto termo assim:

$a_5=a_1+4r\\\\ a_5= \dfrac{1}{2} +4\cdot3\\\\ a_5= \dfrac{1}{2}+12\\\\\\ \Large\boxed{a_5= \dfrac{25}{2}}$

Tenha ótimos estudos ;P