Question

Em uma PA, a soma do 4° com o 5° termo é igual a 89 e a soma do 2° com o 6°é igual a 78. Calcule o 20° termo dessa PA.

Answer 1

Resposta:

a20 = 215

Explicação passo-a-passo:

Temos que:

• a4 + a5 = 89
• a2 + a6 = 78

Note que podemos escrever a5 e a4 em função de a2 (pois é o menor termo que temos)

a4 = a2 + 2r

a5 = a2 + 3r

Substituindo na primeira equação:

a2 + 2r + a2 + 3r = 89

• 2a2 + 5r = 89

Podemos fazer o mesmo com o a6:

a6 = a2 + 4r

Substiuindo em a2 + a6 = 78:

a2 + a2 + 4r = 78

• 2a2 + 4r = 78

Ficamos com o seguinte sistema de equações:

2a2 + 5r = 89 (Í)

2a2 + 4r = 78 (II)

Subtraindo II de I:

2a2 + 5r - 2a2 - 4r = 89-78

• r = 11

Agora, vamos usar uma das equações do sistema e descobrir o a2.

2a2 + 5 × 11 = 89

2a2 + 55 = 89

2a2 = 34

a2 = 17

Agora, se escrevermos o a20 em função de a2, podemos encontrá-lo:

a20 = a2 + 18r

a20 = 17 + 18 × 11

a20 = 17 + 198

a20 = 215

Answer 2

Resposta:

215

Explicação passo-a-passo:

Vamos usar a fórmula do termo geral da PA:

aₙ = a₁ + (n-1)r

Ou seja

a₂ = a₁ + r

a₄ = a₁ + 3r

a₅ = a₁ + 4r

a₆ = a₁ + 5r

Sabemos que a soma do quarto com o quinto termo é 89. Assim:

a₄ + a₅ = (a₁ + 3r) + (a₁ + 4r) = 89

2a₁ + 7r = 89  ( I )

E a soma do segundo com o sexto é  78:

a₂ + a₆ = (a₁ + r) + (a₁ + 5r) = 78

2a₁ + 6r = 78    ( II )

Subtraindo a equação ( II ) da equação ( I ) ficamos com

(2a₁ + 7r) - (2a₁ + 6r) = 89 - 78

r = 11

Agora que sabemos a razão podemos encontrar a₁ substituindo na equação  ( II ):

2a₁ + 6*11 = 78

2a₁ = 78 - 66 = 12

a₁ = 6

Com essas informações já podemos encontrar o vigésimo termo da PA:

a₂₀ = a₁ + 19r = 6 + 19*11 = 215