Question

Em uma P.G. crescente, o quarto termo vale -20 e o sétimo termo vale -5/2. Qual
é o seu primeiro termo?

Botem a conta pfvr

Answer 1

Resposta:

a1= - 160

Caso não tenha entendido alguma etapa, pode entrar em contato comigo! Espero ter ajudado...

Answer 2

Olá, boa noite.

Em uma progressão geométrica crescente, o quarto termo vale $a_4=-20$ e o sétimo termo vale $a_7=-\dfrac{5}{2}$. Devemos determinar seu primeiro termo.

Observe que dizer que a progressão é crescente é útil pois determina não só o comportamento dos termos da sequência, mas determina também que o sinal da razão desta progressão é positivo.

Então, utilizamos a fórmula do termo geral para um termo de uma sequência $(a_1,~a_2,~\cdots,a_k,~\cdots~a_n)$ cujos termos estão em progressão geométrica:

$a_n=a_k\cdot q^{n-k},~1\leq k$, onde $q$ é a razão da progressão, constante calculada pela razão entre dois termos consecutivos da sequência: $q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$.

Substituindo $n=7$ e $k=4$ e utilizando os dados do enunciado, calculamos a razão da progressão:

$a_7=a_4\cdot q^{7-4}\\\\\\ -\dfrac{5}{2}=-20\cdot q^3$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $-20$ e simplifique a fração

$\dfrac{-\dfrac{5}{2}}{-20}=\dfrac{-20\cdot q^3}{-20}\\\\\\ q^3=\dfrac{1}{8}$

Calcule a raiz cúbica de ambos os lados da igualdade

$\sqrt[3]{q^3}=\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}$

Sabendo que $\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},~n\in\mathbb{N}\geq2,~b\neq0$ e que $8=2^3$, temos:

$q=\dfrac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}}\\\\\\ q=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2^3}}\\\\\\ q=\dfrac{1}{2}$

Por fim, utilizamos qualquer um dos dados cedidos pelo enunciado para calcularmos, via fórmula do termo geral, o primeiro termo da sequência:

Fazendo $n=4$ e $k=1$

$a_4=a_1\cdot q^{4-1}\\\\\\ -20=a_1\cdot q^3$

Substituindo o resultado calculado anteriormente, temos:

$-20=a_1\cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^3\\\\\\ -20=\dfrac{a_1}{8}$

Multiplique ambos os lados da igualdade por um fator $8$

$\dfrac{a_1}{8}\cdot8=-20\cdot8\\\\\\ a_1=-160~~\checkmark$

Este é o valor do primeiro termo desta progressão.