Question

Em uma P.G crescente, o 3º termo vale – 80 e o 7º, -5. Qual é seu 1º termo?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a_1=-320}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Dada uma progressão geométrica genérica, podemos utilizar a seguinte fórmula para calcular os termos

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$, na qual $a_n$ é o n-ésimo termo da sequência, $a_1$ é o primeiro termo e $q$ é a razão, constante resultante da divisão entre dois termos consecutivos.

Podemos generalizar esta fórmula para usá-la entre quaisquer dois termos da sequência

$a_n=a_k\cdot q^{n-k}$, na qual $a_k$ é o k-ésimo termo da sequência e $1<k<n$.

O enunciado nos cedeu os valores dos 3º e 7º termos, valendo -80 e -5 respectivamente. Substituindo os valores na fórmula que temos:

$a_7=a_3\cdot q^{7-3}\\\\\\ -5=-80\cdot q^4$

Divida ambos os lados da equação por -80

$q^4=\dfrac{1}{16}$

Retire a raiz quártica de ambos os lados da equação

$\sqrt[4]{q^4}=\pm\sqrt[4]{\dfrac{1}{16}}$

Simplifique as raízes

$q=\pm\dfrac{1}{2}$

Como se trata de uma sequência, utilizaremos somente o valor positivo, logo:

$q=\dfrac{1}{2}$

Agora, substitua na fórmula inicial os valores que encontramos para encontrarmos o 1º termo da sequência.

$a_3=a_1\cdot q^{3-1}\\\\\\ -80=a_1\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$

Calcule a potência

$-80=a_1\cdot\dfrac{1}{4}$

Multiplique ambos os lados da equação por 4

$a_1=-320$

Este é o primeiro termos da sequência.