Question

Em uma P.G crescente, de doze termos, o primeiro termo é o quíntuplo da razão e a diferença entre o segundo e o primeiro termo vale 10. Quanto vale o quarto termo?

a) 100 b) 90 c) 80 d) 70

Answer 1

Resposta:

a4 = 80

Explicação passo-a-passo:

Dados do problema

a1 = 5q

a2 - a1 = 10

a2 = a1 q

a3 = a2 q = a1 q²

a4 = a3 q = a1 q³

an = a1 q^(n-1)

a2 = a1 q

a2 - a1 = 10

a1q - a1 = 10

a1 (q-1) = 10

mas a1 = 5q

5q (q-1) = 10

5q² - 5q = 10

divide tudo por 5

q² - q = 2

q² - q - 2 = 0

aplicando bhaskara

∆ = (-1)² - [4(1)(-2)]

∆ = 1 - (-8)

∆ = 1 + 8

∆ = 9

q = [- (-1) ± √∆] / 2(1)

q = (1 ± √9)/2

q' = (1 + 3)/2

q' = 2

q" = (1 - 3)/2

q" = -1

A PG é crescente, entao a1 < a2 < a3 ... an-1 < an < an+1

isso só acontece quando a1 > 0 e q > 1 (veja as explicacoes abaixo, se quiser)

entao para a PG ser crescente, q = 2

a1 = 5q = 5 x 2

a1 = 10

a4= 10 x 2^3

a4 = 10 x 8

a4 = 80

Para quem quiser pensar um pouco mais...

TIPOS DE PG

$\left[\begin{array}{ccc}a1&q&tipo\\>0&>1&Crescente\\>0&0<q<1&Decrescente\\>0&-1<q<0&Decrescente-em-modulo\\>0&q<-1&Crescente-em-modulo\\---&----&---------\\<0&q>1&Decresente\\<0&0<q<1&Cresente\\<0&-1< q<0&Decresente - em -modulo\\<0&q<-1&Cresente-em-modulo\end{array}\right]$

vamos considerar a1 = 2 e q1 = 2

ou seja, a1 > 0 e q1 > 1, logo segundo quadro acima, a PG é cresente

a1 = 2

a2 = 2 x q1 = 2 x 2 = 4

a3 = a2 x q1 = 4 x 2 = 8

a4 = a3 x q1 = 8 x 2 = 16...

entao a PG {2;4;8;16...} - Crescente

vamos manter o a1 = 2 e q2= 1/2

a1 = 2

a2 = 2 x q2 = 2 x 1/2 = 1

a3 = a2 x q2 = 1 x 1/2 = 1/2

a4 = a3 x q2 = 1/2 x 1/2 = 1/4...

PG = {2;1;1/2;1/4...} - Decrescente

vamos ainda manter o a1 = 2 e usar agora q3 = -1/2

a1 = 2

a2 = 2 x q3 = 2 x (-1/2) = -1

a3 = a2 x q3 = -1 x (-1/2) = 1/2

a4 = a3 x q3 = 1/2 x (-1/2) = -1/4...

PG = {2;-1;1/2;-1/4...} - Decrescente em modulo, alternada no sinal

Observe que para os termos onde n é impar, seus valores sao positivos e n pares, valores negativos...

vamos ainda manter o a1 = 2 e usar agora q4 = -2

a1 = 2

a2 = 2 x q4 = 2 x (-2) = -4

a3 = a2 x q4 = (-4) x (-2) = 8

a4 = a3 x q4 = 8 x (-2) = -16...

entao a PG {2;-4;8;-16...} - Crescente em modulo e alternada no sinal

Mas o que acontece se a<0, vamos ver?

vamos considerar a1 = -2 e q1 = 2

a1 = -2

a2 = (-2) x q1 = (-2) x 2 = - 4

a3 = a2 x q1 = (-4) x 2 = - 8

a4 = a3 x q1 = (-8) x 2 = - 16...

entao a PG {-2;-4;-8;-16...} - Decrescente

vamos manter o a1 = -2 e q2= 1/2

a1 = (-2)

a2 = (-2) x q2 = (-2) x 1/2 = -1

a3 = a2 x q2 = (-1) x 1/2 = -1/2

a4 = a3 x q2 = (-1/2) x 1/2 = -1/4...

PG = {-2;-1;-1/2;-1/4...} - Crescente

vamos ainda manter o a1 = -2 e usar agora q3 = -1/2

a1 = (-2)

a2 = (-2) x q3 = (-2) x (-1/2) = 1

a3 = a2 x q3 = 1 x (-1/2) = -1/2

a4 = a3 x q3 = (-1/2) x (-1/2) = 1/4...

PG = {-2;1;-1/2;1/4...} - Decrescente em modulo, alternada no sinal

vamos ainda manter o a1 = -2 e usar agora q4 = -2

a1 = -2

a2 = a1 x q4 = (-2) x (-2) = 4

a3 = a2 x q4 = 4 x (-2) = -8

a4 = a3 x q4 = (-8) x (-2) = 16...

entao a PG {-2;4;-8;16...} - Crescente em modulo e alternada no sinal