Question

em uma P.A. são dados a1=2 , r=3 e sn=57 ,calcule an e n.
me ajude ​!!!!

Answer 1

A partir da fórmula da soma dos "n" termos de uma P.A. temos a seguinte relação:

$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

Substituindo pelos valores que o exercício nos dá temos a equação:

$\frac{n(2+a_n)}{2}=57$

$n(2+a_n)=57.2$

$n(2+a_n)=114$

Como pôde notar, caímos em uma equação com duas variáveis ($n$ e $a_n$), nesta forma ela possui infinitas soluções, então teremos que dar um jeito de transformá-la em uma equação com apenas uma variável.

Para isso usaremos a fórmula do termo geral:

$a_n=a_1+(n-1).r\\a_n=2+(n-1).3\\a_n=2+3n-3\\a_n=3n-1$

Substituímos $a_n$ na equação:

$n(2+a_n)=114$

$n(2+3n-1) =114$

$2n+3n^2-n=114$

$3n^2+n-114=0$

Caímos em uma equação do 2º grau, vamos ter que usar Bhaskara para descobrir o valor de "n":

$\triangle=1^2-4.3.(-114)=1+1368=1369$

$n_1=\frac{-1+\sqrt{1369} }{2.3}= \frac{-1+37}{6}=\frac{36}{6} =6$

$n_2=\frac{-1-\sqrt{1369} }{2.3}= \frac{-1-37}{6}=\frac{-38}{6} =-\frac{19}{3}$

O "n" representa a quantidade de termos da P.A, ou seja, tem que ser positivo e inteiro. Sendo assim somente o valor de $n_1$ é válido e concluímos que n = 6. Agora podemos substituí-lo no termo geral descoberto acima e descobrir o valor de $a_n$:

$a_n=3n-1\\a_n=3.6-1\\a_n=18-1\\a_n=17$

Enfim temos que $n=6$ e $a_n=17$