Question

Em uma P.A. de três termos, a soma desses é 12, e a soma de seus quadrados é 56. Determine a P.A

Answer 1

$a_1+a_2+a_3=12\\\ (a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2=56$

De uma PA, sabemos que :

$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}\\\\\boxed{a_1+a_3=2a_2}$

Agora, substituindo na primeira coluna

$a_1+a_2+a_3=12\\\\ a_1+a_3+a_2=12\\\\ 2a_2+a_2=12\\\\ 3a_2=12\\\\ a_2=\frac{12}{3}\\\\ \boxed{a_2=4}$

Agora, falta descobrir o 1° e o 3° termo

$a_1+a_3=2a_2\\\\ a_1=2*4-a_3\\\\ \boxed{a_1=8-a_3}$

Substituindo na segunda coluna

$(a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2=56\\\\ (8-a_3)^2+4^2+(a_3)^2=56\\\\ 64-16a_3+(a_3)^2+(a_3)^2+16=56\\\\ 2(a_3)^2-16a_3+24=0\\\\ (a_3)^2-8a_3+12=0\\\\ \Delta=64-48\\\\ \boxed{\Delta=16}$

$a_3\ ' = \frac{8+4}{2} = \frac{12}{2}=6\\\\ a_3\ '' = \frac{8-4}{2}=\frac{4}{2}=2$

$a_1=8-a_3\\\\ a_1=8-6\\\\ a_1=2\\\\\ ou\ \\\\ a_1=8-a_3\\\\ a_1=8-2\\\\ \boxed{a_1=6}$

A PA, pode ser

PA (2,4,6)

ou 

PA ( 6,4,2)