Question

Em uma P.A. de quatro termos, a soma dos dois primeiros é zero e a soma dos dois últimos é 80. Qual é a razão da P.A.?

Answer 1

Numa PA
                 a1 = a1
                 a2 = a1 + r
                 a3 = a1 + 2r
                 a4 = a1 + 3r
Do enunciado
                         a1 + a2 = 0
                         a1 + a1 + r = 0
                                                      2a1 + r = 0        (1)
                         a3 + a4 = 80
                         a1 + 2r + a1 + 3r = 80
                                                      2a1 + 5r = 80    (2)
Resolvendo sistema (1) (2)
            De (1)
                       2a1 = - r
           De (2)
                       2a1 = 80 - 5r
           2a1 = 2a1
                           - r = 80 - 5r
                         - r + 5r = 80
                               4r = 80
                                 r = 20
                                                 A RAZÃO DA PA É 20

Answer 2

Uma P.A. de três elementos é descrita como : ( x - r, x , x + r)
Já uma P.A. de quatro elementos é: (x - 3y, x - y, x + y, x + 3y)
Onde:
a1 = 1º termo = x - 3y
a2 = 2º termo = x - y
a3 = 3º termo  = x + y
a4 = 4º e último termo = x + 3y

r = razão = a1 - a2 = (x - 3y) - (x - y) = 2y

a1 + a2 = 0
(x - 3y) + (x - y) = 0
x + x - 3y - y = 0
2x - 4y = 0

a3 + a4 = 80
(x + y) + (x + 3y) = 80
x + x + y + 3y = 80
2x + 4y = 80

Agora, façamos um sistema:

2x - 4y = 0
2x + 4y = 80
------------------
4x = 80
x = 80 / 4
x = 20

Substitua o valor de x:

2(x) - 4y = 0
2 * 20 - 4y = 0
40 - 4y = 0
-4y = -40  *(-1)
4y = 40
y = 40 / 4
y = 10

A razão então é:

r = 2(y)
r = 2 * (10)
r = 20
-------------------------------------------
Curiosidade:
quer saber todos os termos da P.A.? É só substituir:

a1 = x - 3y = 20 - 3 * 10 = 20 - 30 = -10
a2 = x - y = 20 - 10 = 10
a3 = x + y = 20 + 10 = 30
a4 = x + 3y = 20 + 3 * 10 = 20 + 30 = 50

P.A. ( -10, 10, 30, 50 )