Question

Em uma p.a de quatro termos, a soma dos dois primeiro é igual a 0 e dos dois últimos é igual a 80. Qual é a razao da P.a?

Answer 1

Para que a soma de dois números seja 0, só existe uma possibilidade: eles são iguais em módulo mas com sinais opostos:

$a_2 = - a_1$

Mas uma P.A. é dada pela seguinte fórmula:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot R$

Em que:

$a_n$ é o enésimo termo da P.A.,
$a_1$ é o primeiro termo,
$R$ é a razão e,
$n$ é o número (índice) correspondente ao termo a ser calculado, isto é:

$a_1 = a_1 + (1 - 1) \cdot R = a_1 + 0 \cdot R = a_1 \\ a_2 = a_1 + (2 -1) \cdot R = a_1 + R \\ a_3 = a_1 + (3 - 1) \cdot R = a_1 + 2 \cdot R$

e assim por diante.

Então, se o segundo é igual ao primeiro com sinal oposto:

$a_2 = a_1 + R \\ -a_1 = a_1 + R \\ -a_1 - a_1 = R \\ -2a_1 = R \\ a_1 = -\frac{R}{2}$

A soma dos dois últimos termos é igual a 80:

$a_3 + a_4 = 80 \\ a_1 + 2 \cdot R + a_1 + 3 \cdot R = 80 \\ 2 \cdot a_1 + 5 \cdot R = 80$

Substituindo $a_1 = -\frac{R}{2}$ na equação acima, calculamos R:

$2 \cdot (- \frac{R}{2}) + 5 \cdot R = 80\\ - R + 5 \cdot R = 80 \\ 4 \cdot R = 80 \\ \boxed{R = \frac{80}{4} = 20}$

Dessa forma:

$a_1 = -\frac{20}{2} = -10 \\ a_2 = -a_1 = 10 \\ a_3 = a_1 + 2 \cdot R = -10 + 2 \cdot 20 = -10 + 40 = 30 e \\ a_4 = a_1 + 3 \cdot R = -10 + 3 \cdot 20 = -10 + 60 = 50$